(Funções Elementares e Euler) Mostre as seguintes relações fundamentais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
onde
é um número complexo qualquer (ou real, que é caso especial). Não foram dadas outras informações além dessa relação a ser demonstrada.
Passo 2
Vamos recordar e definir com calma as funções envolvidas, usando definições que valem para números complexos também.
- A função exponencial complexa
está bem definida para todo . - A função hiperbólica seno é definida por
para todo
. Aqui
é a variável (no nosso caso vai ser
).
- A função seno usual pode ser expressa em termos da exponencial complexa por meio da fórmula de Euler. Primeiro lembre da fórmula de Euler para qualquer
(e que se estende a ):
A partir de
e
, subtraindo as duas expressões obtemos a fórmula exponencial para o seno:
Essa identidade vale também para
; aqui vou escrever
quando for o caso.
Passo 3
Agora use diretamente a definição de
aplicada ao argumento
. Substituindo
na definição de
temos:
Passo 4
Observe a relação entre a expressão obtida e a expressão exponencial para
. Reescrevendo
pela sua definição exponencial:
Passo 5
Comparando as duas fórmulas, note que a única diferença é o fator
no denominador. Assim:
Portanto,
Passo 6
Comentário final curto e intuitivo: a identidade vem direto das definições em termos de exponenciais. A transformação
troca o papel das funções hiperbólicas pelas trigonométricas introduzindo o fator
apropriado — isto é consistente com as identidades entre senos/ cossenos e sinh/ cosh via argumentos imaginários.