(Funções Elementares e Euler) Mostre as seguintes relações fundamentais:
\operatorname{sinh} (i z)=i \sin (z)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\operatorname{sinh}(i z)=i \sin(z)
onde z é um número complexo qualquer (ou real, que é caso especial). Não foram dadas outras informações além dessa relação a ser demonstrada.

Passo 2

Vamos recordar e definir com calma as funções envolvidas, usando definições que valem para números complexos também.
  • A função exponencial complexa e^w está bem definida para todo w\in\mathbb{C}.
  • A função hiperbólica seno é definida por
\operatorname{sinh}(w)=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2},
para todo w\in\mathbb{C}. Aqui w é a variável (no nosso caso vai ser w=i z).
  • A função seno usual pode ser expressa em termos da exponencial complexa por meio da fórmula de Euler. Primeiro lembre da fórmula de Euler para qualquer t\in\mathbb{R} (e que se estende a t\in\mathbb{C}):
e^{i t}=\cos(t)+i\sin(t).
A partir de e^{i t}=\cos t + i\sin t e e^{-i t}=\cos t - i\sin t, subtraindo as duas expressões obtemos a fórmula exponencial para o seno:
\sin(t)=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2i}.
Essa identidade vale também para t\in\mathbb{C}; aqui vou escrever t=z quando for o caso.

Passo 3

Agora use diretamente a definição de \operatorname{sinh} aplicada ao argumento i z. Substituindo w=i z na definição de \operatorname{sinh}(w) temos:
\operatorname{sinh}(i z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}.

Passo 4

Observe a relação entre a expressão obtida e a expressão exponencial para \sin(z). Reescrevendo \sin(z) pela sua definição exponencial:
\sin(z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}.

Passo 5

Comparando as duas fórmulas, note que a única diferença é o fator i no denominador. Assim:
\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}=i\cdot\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}=i\sin(z).
Portanto,
\operatorname{sinh}(i z)=i\sin(z).

Passo 6

Comentário final curto e intuitivo: a identidade vem direto das definições em termos de exponenciais. A transformação w\mapsto i z troca o papel das funções hiperbólicas pelas trigonométricas introduzindo o fator i apropriado — isto é consistente com as identidades entre senos/ cossenos e sinh/ cosh via argumentos imaginários.

Resposta

\operatorname{sinh}(i z)=i \sin(z)

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