As únicas informações dadas são os dois complexos \,z_{1} e \,z_{2} e a função exponencial complexa \exp. A seguir vou trabalhar passo a passo a partir da definição da exponencial por série de potências e mostrar a igualdade.
Passo 2
Definição e convergência da série da exponencial.
Por definição (a mais usada em análise complexa), a função exponencial é dada pela série de potências
\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},
onde n! é o fatorial de n. Antes de manipular séries, é importante saber que essa série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}. Uma maneira simples de ver isso é aplicar o critério da razão:
então a série converge absolutamente (e portanto converge) para todo z. Isso nos permite multiplicar séries e reordenar somas com segurança nas próximas etapas.
Passo 3
Escrever o produto \exp\!\left(z_{1}\right)\exp\!\left(z_{2}\right) como produto de séries e usar o produto de Cauchy.
Escrevendo as duas exponenciais pelas suas séries,
Pronto — a identidade está demostrada. Parabéns: essa propriedade é a base de muita coisa legal com exponenciais (e aparece em prova de várias disciplinas).