(Funções Elementares e Euler) Mostre as seguintes relações fundamentais:
\exp \left(z_{1}+z_{2}\right)=\exp \left(z_{1}\right) \exp \left(z_{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números complexos \,z_{1} e \,z_{2}, vale a identidade
\exp\!\left(z_{1}+z_{2}\right)=\exp\!\left(z_{1}\right)\exp\!\left(z_{2}\right).
As únicas informações dadas são os dois complexos \,z_{1} e \,z_{2} e a função exponencial complexa \exp. A seguir vou trabalhar passo a passo a partir da definição da exponencial por série de potências e mostrar a igualdade.

Passo 2

Definição e convergência da série da exponencial.
Por definição (a mais usada em análise complexa), a função exponencial é dada pela série de potências
\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},
onde n! é o fatorial de n. Antes de manipular séries, é importante saber que essa série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}. Uma maneira simples de ver isso é aplicar o critério da razão:
\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^{n}/n!}\right| =\frac{|z|}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
então a série converge absolutamente (e portanto converge) para todo z. Isso nos permite multiplicar séries e reordenar somas com segurança nas próximas etapas.

Passo 3

Escrever o produto \exp\!\left(z_{1}\right)\exp\!\left(z_{2}\right) como produto de séries e usar o produto de Cauchy.
Escrevendo as duas exponenciais pelas suas séries,
\exp\!\left(z_{1}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z_{1}^{n}}{n!}, \qquad \exp\!\left(z_{2}\right)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{z_{2}^{m}}{m!}.
Como ambas as séries convergem absolutamente, o Teorema do produto de Cauchy diz que o produto das somas é a soma das convoluções, isto é,
\exp\!\left(z_{1}\right)\exp\!\left(z_{2}\right) =\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}, \quad\text{onde}\quad c_{k}=\sum_{n=0}^{k}\frac{z_{1}^{n}}{n!}\cdot\frac{z_{2}^{\,k-n}}{(k-n)!}.
Aqui c_{k} é o coeficiente do termo de ordem k na série resultante do produto.

Passo 4

Manipular explicitamente o coeficiente c_{k}.
Observe que podemos colocar k! em evidência usando o coeficiente binomial. Lembrando que
\binom{k}{n}=\frac{k!}{n!(k-n)!},
temos
c_{k} =\sum_{n=0}^{k}\frac{z_{1}^{n}z_{2}^{\,k-n}}{n!(k-n)!} =\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^{k}\binom{k}{n}z_{1}^{n}z_{2}^{\,k-n}.

Passo 5

Aplicar o teorema binomial à soma interior.
Pelo teorema binomial (válido para coeficientes complexos também),
\sum_{n=0}^{k}\binom{k}{n}z_{1}^{n}z_{2}^{\,k-n}=(z_{1}+z_{2})^{k}.
Substituindo na expressão de c_{k} obtemos
c_{k}=\frac{(z_{1}+z_{2})^{k}}{k!}.

Passo 6

Reconstruir a série resultante e concluir a igualdade.
Como cada coeficiente c_{k} coincide com \dfrac{(z_{1}+z_{2})^{k}}{k!}, a soma das c_{k} é exatamente a série da exponencial avaliada em z_{1}+z_{2}:
\exp\!\left(z_{1}\right)\exp\!\left(z_{2}\right) =\sum_{k=0}^{\infty}c_{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z_{1}+z_{2})^{k}}{k!} =\exp\!\left(z_{1}+z_{2}\right).
Pronto — a identidade está demostrada. Parabéns: essa propriedade é a base de muita coisa legal com exponenciais (e aparece em prova de várias disciplinas).

Resposta

\displaystyle \exp\!\left(z_{1}+z_{2}\right)=\exp\!\left(z_{1}\right)\exp\!\left(z_{2}\right)

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