As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo x exceto para um único valor de x. Se possível, defina f(x) neste ponto excepcional de tal forma que f(x) resulte contínua em cada x.
f(x)=\frac{x^{2}+x-12}{x+4}, x \neq-4

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida para todo x exceto num único ponto e pede que, se possível, se defina f(x) nesse ponto excepcional de modo que a função fique contínua em cada x. A função dada é
f(x)=\frac{x^{2}+x-12}{x+4},\qquad x\neq -4.
O que se pede: encontrar um valor para f(-4) que torne f contínua em x=-4 (e assim contínua em todo x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa "ser contínua em x=-4". Uma função f é contínua em a se três coisas acontecem:
  1. f(a) está definida (a função tem um valor no ponto).
  2. \lim_{x\to a} f(x) existe.
  3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aqui a função não está definida em x=-4, então falta a condição 1; podemos tentar definir f(-4) de modo que a condição 3 seja satisfeita (assumindo que o limite exista). Portanto, o objetivo prático é calcular \lim_{x\to -4} \frac{x^{2}+x-12}{x+4} e escolher f(-4) igual a esse limite (se o limite existir).

Passo 3

Para calcular o limite, uma boa estratégia é simplificar a expressão algébrica quando possível. Vamos fatorar o polinômio do numerador. Procuramos dois números cuja multiplicação seja -12 e cuja soma seja 1 (o coeficiente de x). Esses números são 4 e -3, pois 4\cdot(-3)=-12 e 4+(-3)=1. Assim,
x^{2}+x-12=(x+4)(x-3).

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração obtemos, para x\neq -4,
\frac{x^{2}+x-12}{x+4}=\frac{(x+4)(x-3)}{x+4}.
Como x\neq -4, podemos cancelar o fator comum x+4, ficando
\frac{x^{2}+x-12}{x+4}=x-3\qquad (x\neq -4).
Isto mostra que, para todos os x diferentes de -4, a função coincide com o polinômio x-3.

Passo 5

Agora calculemos o limite quando x tende a -4. Como o cancelamento transformou a expressão numa função polinomial (que é contínua em todo lugar), podemos simplesmente avaliar em x=-4:
\lim_{x\to -4}\frac{x^{2}+x-12}{x+4}=\lim_{x\to -4}(x-3)=(-4)-3=-7.
Portanto o limite existe e vale -7.

Passo 6

Para tornar f contínua em x=-4 precisamos que f(-4) exista e seja igual ao limite -7. Logo, devemos definir
f(-4)=-7.
Feito isso, as três condições de continuidade em x=-4 ficam satisfeitas: agora f(-4) existe, o limite existe e ambos são iguais. Além disso, após essa definição a função fica igual a x-3 para todo x (inclusive em -4), portanto é contínua em todos os x.

Resposta

f(-4)=-7

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