As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo
exceto para um único valor de
. Se possível, defina
neste ponto excepcional de tal forma que
resulte contínua em cada x.
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida para todo
exceto num único ponto e pede que, se possível, se defina
nesse ponto excepcional de modo que a função fique contínua em cada
. A função dada é
O que se pede: encontrar um valor para
que torne
contínua em
(e assim contínua em todo
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa "ser contínua em
". Uma função
é contínua em
se três coisas acontecem:
-
está definida (a função tem um valor no ponto). -
existe. -
.
Aqui a função não está definida em
, então falta a condição 1; podemos tentar definir
de modo que a condição 3 seja satisfeita (assumindo que o limite exista). Portanto, o objetivo prático é calcular
e escolher
igual a esse limite (se o limite existir).
Passo 3
Para calcular o limite, uma boa estratégia é simplificar a expressão algébrica quando possível. Vamos fatorar o polinômio do numerador. Procuramos dois números cuja multiplicação seja
e cuja soma seja
(o coeficiente de
). Esses números são
e
, pois
e
. Assim,
Passo 4
Substituindo a fatoração na fração obtemos, para
,
Como
, podemos cancelar o fator comum
, ficando
Isto mostra que, para todos os
diferentes de
, a função coincide com o polinômio
.
Passo 5
Agora calculemos o limite quando
tende a
. Como o cancelamento transformou a expressão numa função polinomial (que é contínua em todo lugar), podemos simplesmente avaliar em
:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 6
Para tornar
contínua em
precisamos que
exista e seja igual ao limite
. Logo, devemos definir
Feito isso, as três condições de continuidade em
ficam satisfeitas: agora
existe, o limite existe e ambos são iguais. Além disso, após essa definição a função fica igual a
para todo
(inclusive em
), portanto é contínua em todos os
.