As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo x exceto para um único valor de x. Se possível, defina f(x) neste ponto excepcional de tal forma que f(x) resulte contínua em cada x.
f(x)=\frac{x^{2}+25}{x-5}, x \neq 5

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida para todo x exceto em um ponto:
f(x)=\frac{x^{2}+25}{x-5},\qquad x\neq 5.
O pedido é: se possível, definir f(5) de modo que f seja contínua em cada x. Especificamente, devemos verificar se existe um valor para f(5) que torne f contínua em x=5.
Para lembrar a definição que vamos usar: uma função f é contínua em x=5 se, e somente se,
\lim_{x\to 5} f(x)\\ \text{existe finito e}\\ \lim_{x\to 5} f(x)=f(5).
Portanto, antes de escolher qualquer valor para f(5) precisamos calcular \lim_{x\to 5} f(x). Se esse limite existir e for um número finito L, então podemos definir f(5)=L para obter continuidade. Se o limite não existir ou for infinito, não há como definir f(5) para tornar f contínua em x=5.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento da função perto de x=5 fazendo uma divisão algébrica do polinômio do numerador pelo denominador. Podemos escrever
x^{2}+25 = (x-5)(x+5)+50,
pois (x-5)(x+5)=x^{2}-25 e x^{2}-25+50=x^{2}+25. Assim, para x\neq 5,
\frac{x^{2}+25}{x-5}=x+5+\frac{50}{x-5}.
Agora analisamos o limite usando a forma obtida:
f(x)=x+5+\frac{50}{x-5}\quad (x\neq 5).
Quando x\to 5 a parcela x+5 tende para 10. O termo \dfrac{50}{x-5} é problemático: ao aproximar x de 5 ele explode para +\infty quando x\to 5^{+} (pois x-5>0 pequeno) e para -\infty quando x\to 5^{-} (pois x-5<0 pequeno). Formalmente,
\lim_{x\to 5^{+}} \frac{50}{x-5}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 5^{-}} \frac{50}{x-5}=-\infty.
Portanto as limites laterais de f em 5 são
\lim_{x\to 5^{+}} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 5^{-}} f(x)=-\infty,
e o limite bilateral \lim_{x\to 5} f(x) não existe como número finito.

Passo 3

Como \lim_{x\to 5} f(x) não existe (as duas laterais divergem para sinais opostos), não há nenhum número L que possamos atribuir a f(5) tal que \lim_{x\to 5} f(x)=L. Logo, NÃO é possível definir f(5) de modo a tornar f contínua em x=5. A descontinuidade em x=5 é do tipo não-removível (descontinuidade infinita/assintótica): a função tem uma assíntota vertical em x=5.
Para fixar a ideia (exemplo didático): se o numerador também se anulasse em x=5 — por exemplo para g(x)=\dfrac{x^{2}-25}{x-5} — poderíamos simplificar para g(x)=x+5 quando x\neq 5, e então \lim_{x\to 5} g(x)=10, permitindo definir g(5)=10 e remover a descontinuidade. No nosso caso, porém, o numerador em x=5 vale 5^{2}+25=50\neq 0, razão pela qual temos comportamento assintótico e não é possível “consertar” definindo f(5).

Resposta

Não é possível definir f(5) de modo que f seja contínua em x=5.

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