As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo
exceto para um único valor de
. Se possível, defina
neste ponto excepcional de tal forma que
resulte contínua em cada x.
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida para todo
exceto em um ponto:
O pedido é: se possível, definir
de modo que
seja contínua em cada
. Especificamente, devemos verificar se existe um valor para
que torne
contínua em
.
Para lembrar a definição que vamos usar: uma função
é contínua em
se, e somente se,
Portanto, antes de escolher qualquer valor para
precisamos calcular
. Se esse limite existir e for um número finito
, então podemos definir
para obter continuidade. Se o limite não existir ou for infinito, não há como definir
para tornar
contínua em
.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento da função perto de
fazendo uma divisão algébrica do polinômio do numerador pelo denominador. Podemos escrever
pois
e
. Assim, para
,
Agora analisamos o limite usando a forma obtida:
Quando
a parcela
tende para
. O termo
é problemático: ao aproximar
de
ele explode para
quando
(pois
pequeno) e para
quando
(pois
pequeno). Formalmente,
Portanto as limites laterais de
em
são
e o limite bilateral
não existe como número finito.
Passo 3
Como
não existe (as duas laterais divergem para sinais opostos), não há nenhum número
que possamos atribuir a
tal que
. Logo, NÃO é possível definir
de modo a tornar
contínua em
. A descontinuidade em
é do tipo não-removível (descontinuidade infinita/assintótica): a função tem uma assíntota vertical em
.
Para fixar a ideia (exemplo didático): se o numerador também se anulasse em
— por exemplo para
— poderíamos simplificar para
quando
, e então
, permitindo definir
e remover a descontinuidade. No nosso caso, porém, o numerador em
vale
, razão pela qual temos comportamento assintótico e não é possível “consertar” definindo
.
Resposta
Não é possível definir
de modo que
seja contínua em
.