As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo
exceto para um único valor de
. Se possível, defina
neste ponto excepcional de tal forma que
resulte contínua em cada x.
Passo 1
O enunciado dá a função definida para
:
Há exatamente um ponto em que a função não está definida:
.
O que o exercício pede: se for possível, escolher um valor que torne
contínua em todo
(isto é, em particular em
). Em outras palavras: existe um valor real
tal que, se definirmos
, a função fica contínua em
?
O que o exercício pede: se for possível, escolher um valor
Passo 2
Lembrando o conceito que vamos usar (explicação didática): uma função
é contínua em
se e somente se os três itens seguintes ocorrem:
-
está definido; -
existe (como número finito); -
.
Portanto, para poder definir
de modo a tornar
contínua em
, é necessário que
exista e seja finito; então escolheríamos
igual a esse limite. Se o limite não for um número real finito (por exemplo divergir para
ou não existir), não há como definir
para obter continuidade.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para
. Dividindo termo a termo por
obtemos uma forma mais clara:
Esta decomposição ajuda a analisar o comportamento quando
se aproxima de
.
Passo 4
Calcular o limite
analisando cada termo:
-
. -
. -
. Aqui note que para e quando ; portanto . Em palavras: o termo cresce sem limite positivo quando se aproxima de .
Somando os comportamentos: um termo tende a
, outro a
e o terceiro tende a
. Assim
Em particular, o limite não existe como número real finito — diverge para
.
Passo 5
Conclusão lógica (ligando a definição de continuidade): como
, não existe valor real finito
tal que
. Portanto não se pode escolher um número
que faça
. Consequentemente, não é possível definir
para tornar
contínua em
.
Observação adicional (didática e prática para a prova): quando a descontinuidade é “removível” é porque o numerador também se anula com potência suficiente de
(por exemplo se houvesse um fator
no numerador que cancelasse o
do denominador). Aqui o numerador em
vale
, por isso não há cancelamento e o denominador zero provoca divergência.
Resposta
Não é possível definir
para tornar
contínua em
.