As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo x exceto para um único valor de x. Se possível, defina f(x) neste ponto excepcional de tal forma que f(x) resulte contínua em cada x.
f(x)=\frac{x^{3}-5 x^{2}+4}{x^{2}}, x \neq 0

Passo 1

O enunciado dá a função definida para x\neq 0:
f(x)=\frac{x^{3}-5x^{2}+4}{x^{2}},\quad x\neq 0.
Há exatamente um ponto em que a função não está definida: x=0.
O que o exercício pede: se for possível, escolher um valor f(0) que torne f contínua em todo x (isto é, em particular em x=0). Em outras palavras: existe um valor real L tal que, se definirmos f(0)=L, a função fica contínua em 0?

Passo 2

Lembrando o conceito que vamos usar (explicação didática): uma função f é contínua em a se e somente se os três itens seguintes ocorrem:
  • f(a) está definido;
  • \lim_{x\to a} f(x) existe (como número finito);
  • \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Portanto, para poder definir f(0) de modo a tornar f contínua em 0, é necessário que \lim_{x\to 0} f(x) exista e seja finito; então escolheríamos f(0) igual a esse limite. Se o limite não for um número real finito (por exemplo divergir para \pm\infty ou não existir), não há como definir f(0) para obter continuidade.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para x\neq 0. Dividindo termo a termo por x^{2} obtemos uma forma mais clara:
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{5x^{2}}{x^{2}}+\frac{4}{x^{2}}=x-5+\frac{4}{x^{2}},\quad x\neq 0.
Esta decomposição ajuda a analisar o comportamento quando x se aproxima de 0.

Passo 4

Calcular o limite \lim_{x\to 0} f(x) analisando cada termo:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0} x = 0.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0} (-5) = -5.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{4}{x^{2}}. Aqui note que x^{2}>0 para x\neq 0 e x^{2}\to 0 quando x\to 0; portanto \dfrac{4}{x^{2}}\to +\infty. Em palavras: o termo \dfrac{4}{x^{2}} cresce sem limite positivo quando x se aproxima de 0.
Somando os comportamentos: um termo tende a 0, outro a -5 e o terceiro tende a +\infty. Assim
\lim_{x\to 0} f(x)=0-5+{+\infty}=+\infty.
Em particular, o limite não existe como número real finito — diverge para +\infty.

Passo 5

Conclusão lógica (ligando a definição de continuidade): como \lim_{x\to 0} f(x)=+\infty, não existe valor real finito L tal que \lim_{x\to 0} f(x)=L. Portanto não se pode escolher um número f(0) que faça \lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Consequentemente, não é possível definir f(0) para tornar f contínua em 0.
Observação adicional (didática e prática para a prova): quando a descontinuidade é “removível” é porque o numerador também se anula com potência suficiente de x (por exemplo se houvesse um fator x^{2} no numerador que cancelasse o x^{2} do denominador). Aqui o numerador em 0 vale 4\neq 0, por isso não há cancelamento e o denominador zero provoca divergência.

Resposta

Não é possível definir f(0) para tornar f contínua em 0.

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