Para as funções nos exercícios 1. a 4., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) Os pontos degenerados de f.
(b) Os intervalos em que f tem a concavidade para cima ou para baixo.
© Os pontos de inflexão do gráfico de f.
f(x)=x2-x.

Passo 1

Na questão temos a função f(x)=x2-x. Vamos usar derivadas para achar os pontos degenerados (críticos), a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Para achar os pontos degenerados, calculamos a derivada usando a regra do quociente. Temos:
f'(x)=(1)(2-x)-x(-1)(2-x)^2=2-x+x(2-x)^2=2(2-x)^2
Como f'(x) nunca se anula em seu domínio e a única indeterminação ( x=2) não pertence ao domínio de f, concluímos que não há pontos degenerados.

Passo 3

Para estudar a concavidade, calculamos a segunda derivada. Derivando f'(x)=2(2-x)^-2 obtemos:
f''(x)=2cdot(-2)(2-x)^-3cdot(-1)=4(2-x)^3
Como o sinal de f''(x) depende de (2-x)^3, temos que para x<2 o denominador é positivo e f''(x)>0 (concavidade para cima) e para x>2 o denominador é negativo e f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 4

Ponto de inflexão ocorre quando f''(x) muda de sinal num ponto do domínio de f. Aqui a mudança de sinal ocorre em x=2, mas esse ponto não pertence ao domínio de f. Portanto, não existem pontos de inflexão.

Resposta

(a) Não existem pontos degenerados no domínio de f.
(b) f é côncava para cima em (-infty,2) e côncava para baixo em (2,infty).
© Não existem pontos de inflexão.

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