Para as funções nos exercícios 1. a 4., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) Os pontos degenerados de f.
(b) Os intervalos em que f tem a concavidade para cima ou para baixo.
© Os pontos de inflexão do gráfico de f.
f(x)=x^3+2 x^2+x+2.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=x3+2x2+x+2 que a gente encontre (a) os pontos degenerados (ou críticos), (b) os intervalos de concavidade e © os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

Para achar os pontos degenerados, calculamos a derivada f′(x). Temos
f'(x)=3x^2+4x+1
Agora resolvemos f′(x)=0:
3x^2+4x+1=0
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é Δ=4^2−4·3·1=4, logo as raízes são
x=-4pm26implies x=-1e x=-tfrac13
Calculamos as ordenadas correspondentes: f(-1)=(-1)3+2(-1)2+(-1)+2=2 e f(-1/3)=50/27. Assim, os pontos degenerados são (-1,2) e (-1/3,50/27).

Passo 3

Para os intervalos de concavidade, precisamos da segunda derivada:
f''(x)=6x+4
Concavidade para cima ocorre onde f’’(x)>0, ou seja, 6x+4>0 ⇒ x>−2/3. Concavidade para baixo ocorre onde f’’(x)<0, ou seja, x<−2/3.

Passo 4

O ponto de inflexão é onde f’’(x)=0 e ocorre mudança de concavidade. Resolvendo 6x+4=0 dá x=−2/3. A ordenada é f(-2/3)=(-2/3)3+2(-2/3)2+(-2/3)+2=52/27. Então o ponto de inflexão é (−2/3,52/27).

Resposta

(a) Pontos degenerados: (-1,2) e \left(-\frac{1}{3},\frac{50}{27}\right).
(b) Concavidade para cima em x>−\tfrac{2}{3}; concavidade para baixo em x<−\tfrac{2}{3}.
© Ponto de inflexão: \left(-\tfrac{2}{3},\frac{52}{27}\right).

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