Para as funções nos exercícios 1. a 4., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) Os pontos degenerados de
.
(b) Os intervalos em que
tem a concavidade para cima ou para baixo.
© Os pontos de inflexão do gráfico de
.
.
(a) Os pontos degenerados de
(b) Os intervalos em que
© Os pontos de inflexão do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para a função f(x)=x3+2x2+x+2 que a gente encontre (a) os pontos degenerados (ou críticos), (b) os intervalos de concavidade e © os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
Para achar os pontos degenerados, calculamos a derivada f′(x). Temos
Agora resolvemos f′(x)=0:
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é Δ=4^2−4·3·1=4, logo as raízes são
Calculamos as ordenadas correspondentes: f(-1)=(-1)3+2(-1)2+(-1)+2=2 e f(-1/3)=50/27. Assim, os pontos degenerados são (-1,2) e (-1/3,50/27).
Passo 3
Para os intervalos de concavidade, precisamos da segunda derivada:
Concavidade para cima ocorre onde f’’(x)>0, ou seja, 6x+4>0 ⇒ x>−2/3. Concavidade para baixo ocorre onde f’’(x)<0, ou seja, x<−2/3.
Passo 4
O ponto de inflexão é onde f’’(x)=0 e ocorre mudança de concavidade. Resolvendo 6x+4=0 dá x=−2/3. A ordenada é f(-2/3)=(-2/3)3+2(-2/3)2+(-2/3)+2=52/27. Então o ponto de inflexão é (−2/3,52/27).
Resposta
(a) Pontos degenerados: (-1,2) e \left(-\frac{1}{3},\frac{50}{27}\right).
(b) Concavidade para cima em x>−\tfrac{2}{3}; concavidade para baixo em x<−\tfrac{2}{3}.
© Ponto de inflexão: \left(-\tfrac{2}{3},\frac{52}{27}\right).
(b) Concavidade para cima em x>−\tfrac{2}{3}; concavidade para baixo em x<−\tfrac{2}{3}.
© Ponto de inflexão: \left(-\tfrac{2}{3},\frac{52}{27}\right).