) Sabendo que a derivada da função f(x)=e^{x} é igual a f^{\prime}(x)=e^{x}, usando a derivada da função inversa, calcule \frac{d}{d x} \ln x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{d}{dx}\ln x usando a derivada da função inversa, sabendo que a derivada de f(x)=e^x é f'(x)=e^x. O conteúdo aplicado é a regra da derivada de função inversa e consideramos que \ln x está definida para x>0.

Passo 2

Seja
y = \ln x.
Por definição de função inversa, isso implica
x = e^y,
pois a exponencial é a inversa do logaritmo natural.

Passo 3

Derivamos implicitamente a igualdade x = e^y em relação a x. Aplicando a derivada no lado esquerdo e a regra da cadeia no lado direito, obtemos
\frac{d}{dx}x = \frac{d}{dx}e^y \quad\Longrightarrow\quad 1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}.

Passo 4

Isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}.
Como pela relação original e^y = x, segue que
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}.

Resposta

\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.

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