Q3) As funções horárias da posição de duas partículas, A e B, que se movem numa mesma reta orientada, são dadas no SI por:
A origem dos espaços é a mesma para o estudo dos dois movimentos, o mesmo ocorrendo com a origem dos tempos. Determine:
a) a distância que separa as partículas no instante
;
b) o instante em que essas partículas se encontram;
c) a posição em que se dá o encontro.
d) construa o gráfico da posição em função do tempo para as duas partículas.
Obs: em seu gráfico represente a posição e o instante de encontro.
a) a distância que separa as partículas no instante
b) o instante em que essas partículas se encontram;
c) a posição em que se dá o encontro.
d) construa o gráfico da posição em função do tempo para as duas partículas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas, A e B, que se movem numa mesma reta. As funções que descrevem a posição delas em função do tempo são:
Aqui, $ x $ representa a posição em metros e $ t $ o tempo em segundos. Vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme para resolver as questões. Precisamos entender como calcular distâncias, encontrar momentos de encontro e desenhar gráficos de posição versus tempo.
Passo 2
a) A distância que separa as partículas no instante $ t = 10 $ segundos.
Primeiro, vamos encontrar as posições de A e B quando $ t = 10 $ s.
Para a partícula A:
Para a partícula B:
Agora, a distância que separa as partículas é a diferença entre as posições delas:
Passo 3
b) O instante em que essas partículas se encontram.
As partículas se encontram quando as posições delas são iguais, ou seja, $ x_{A} = x_{B} $.
Então, igualamos as duas equações:
Vamos resolver para $ t $:
Passo 4
c) A posição em que se dá o encontro.
Agora que sabemos que as partículas se encontram em $ t = 20 $ s, vamos substituir esse valor em qualquer uma das funções para encontrar a posição.
Usando $ x_{A} $:
Então, o encontro ocorre na posição de 80 metros.
Passo 5
d) Construa o gráfico da posição em função do tempo para as duas partículas.
Para desenhar o gráfico, vamos plotar as duas funções:
No gráfico, o eixo horizontal (x) representa o tempo $ t $ em segundos, e o eixo vertical (y) representa a posição $ x $ em metros.
-
Para $ x_{A} = 4t $:
- Quando $ t = 0 $, $ x_{A} = 0 $
- Quando $ t = 20 $, $ x_{A} = 80 $
-
Para $ x_{B} = 120 - 2t $:
- Quando $ t = 0 $, $ x_{B} = 120 $
- Quando $ t = 20 $, $ x_{B} = 80 $
O ponto de encontro é $ t = 20 $ s e $ x = 80 $ m.
[Gráfico imaginário]
- Desenhe duas retas:
- A reta de A sobe de $ (0,0) $ a $ (20,80) $
- A reta de B desce de $ (0,120) $ a $ (20,80) $
- O ponto de interseção das duas retas é o ponto de encontro.
Resposta
a) A distância que separa as partículas em $ t = 10 $ s é de 60 metros.
b) As partículas se encontram no instante de 20 segundos.
c) O encontro ocorre na posição de 80 metros.
d) O gráfico mostra as duas retas se cruzando no ponto $ (20,s, 80,m) $, representando o encontro das partículas.