Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x). Encontre a série de Fourier em cossenos de f(x)=L-x, 0 \leq x \leq L com período 2 L .

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier em cossenos de
f(x)=L - x,\quad 0\le x\le L,
estendida de modo par para [-L,L] e com período 2L.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da expansão em cossenos para função par em [0,L]:
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
com
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 2

Calcular a_0:
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}(L-x)\,dx =\frac{2}{L}\Bigl[Lx-\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{L} =\frac{2}{L}\bigl(L^2-\tfrac{L^2}{2}\bigr) =\frac{2}{L}\cdot\tfrac{L^2}{2} =L.

Passo 3

Calcular a_n para n\ge1. Primeiro a integral
I_n=\int_{0}^{L}(L-x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Fazendo integração por partes com \;u=L-x,\;dv=\cos(\tfrac{n\pi x}{L})dx, obtém-se
I_n =\frac{L^2}{n^2\pi^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Então
a_n=\frac{2}{L}I_n =\frac{2}{L}\cdot\frac{L^2}{n^2\pi^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr) =\frac{2L}{n^2\pi^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).

Passo 4

Observar que \,1-(-1)^n=0 se n é par e =2 se n é ímpar.
Logo para n=2k temos a_{2k}=0, e para n=2k-1 (ímpar)
a_{2k-1} =\frac{2L}{(2k-1)^2\pi^2}\cdot2 =\frac{4L}{(2k-1)^2\pi^2}.

Passo 5

Portanto a série de Fourier em cossenos é
f(x)=L-x\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) =\frac{L}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4L}{(2k-1)^2\pi^2} \cos\!\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{L}\bigr).

Resposta

f(x)=L-x \sim \frac{L}{2} +\frac{4L}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2} \cos\!\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{L}\bigr).

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