Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x). OBSERVAÇÃO: na questão 4 as funções são ampliadas para o tamanho do período como uma função par, ímpar ou como zero no em -L \leq x<0.
Encontre a série de Fourier de f(x)=x, 0 \leq x<1 com período 1 .

Passo 1

Temos a função f(x)=x definida em 0\le x<1 e estendida periodicamente de período T=1 ao inteiro. Para obter sua série de Fourier, usamos a forma geral para período T=1:
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(2\pi n x)+b_n\sin(2\pi n x)\bigr],
onde
a_0=\int_{0}^{1}f(x)\,dx,\quad a_n=2\int_{0}^{1}f(x)\cos(2\pi n x)\,dx,\quad b_n=2\int_{0}^{1}f(x)\sin(2\pi n x)\,dx.

Passo 2

Calculamos
a_0=\int_{0}^{1}x\,dx =\bigl[\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora
a_n=2\int_{0}^{1}x\cos(2\pi n x)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=x, dv=\cos(2\pi n x)\,dx, obtemos
\int_{0}^{1}x\cos(2\pi n x)\,dx =\left.\frac{x\sin(2\pi n x)}{2\pi n}\right|_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}\,dx =0-0=0.
Logo
a_n=2\cdot 0=0\quad(\forall\,n\ge1).

Passo 4

Calculamos
b_n=2\int_{0}^{1}x\sin(2\pi n x)\,dx.
Integramos por partes com u=x, dv=\sin(2\pi n x)\,dx, obtendo
\int_{0}^{1}x\sin(2\pi n x)\,dx =\left.-\frac{x\cos(2\pi n x)}{2\pi n}\right|_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\frac{\cos(2\pi n x)}{2\pi n}\,dx =-\frac{1}{2\pi n}+\frac{1}{2\pi n}\Bigl[\frac{\sin(2\pi n x)}{2\pi n}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{1}{2\pi n}.
Logo
b_n=2\Bigl(-\frac{1}{2\pi n}\Bigr) =-\frac{1}{\pi n}.

Passo 5

Reunindo tudo, fica
f(x)=\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[0\cdot\cos(2\pi n x) -\frac{1}{\pi n}\sin(2\pi n x)\Bigr] =\frac12-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n}.

Resposta

\boxed{ f(x)=\frac12-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n} \quad\text{(série de Fourier com período 1).} }éí

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