Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x). Encontre a série de Fourier em cossenos de f(x)=x^{2}-2 x 0<x<4 com período 8.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier em cossenos de f(x)=x^2-2x no intervalo 0<x<4, estendida como função par de período 8. O conteúdo é série de Fourier de meia-onda (cosine series), com L=4.

Passo 2

Para uma função par de período 2L, a expansão em cossenos é
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)
com
a_0=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx.
Aqui L=4.

Passo 3

Calcular a_0:
\int_{0}^{4}(x^2-2x)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}-x^2\Bigr]_{0}^{4} =\frac{64}{3}-16=\frac{16}{3}.
Logo
a_0=\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 4

Calcular a_n. Defina \displaystyle \alpha=\frac{n\pi}{4}. Então
a_n=\frac{2}{4}\int_{0}^{4}(x^2-2x)\cos(\alpha x)\,dx =\frac12\Bigl(I_1- I_2\Bigr),
onde
I_1=\int_{0}^{4}x^2\cos(\alpha x)\,dx, \quad I_2=\int_{0}^{4}2x\cos(\alpha x)\,dx.

Passo 5

Calcular I_1 por partes duas vezes:
I_1 =\Bigl[\frac{x^2}{\alpha}\sin(\alpha x)\Bigr]_{0}^{4} -\frac{2}{\alpha}\int_{0}^{4}x\sin(\alpha x)\,dx
e
\int x\sin(\alpha x)\,dx =-\frac{x}{\alpha}\cos(\alpha x)+\frac{1}{\alpha^2}\sin(\alpha x).
Daí, avaliando em 0 e 4, chega-se a
I_1 =\Bigl(\frac{16}{\alpha}-\frac{2}{\alpha^3}\Bigr)\sin(4\alpha) +\frac{8}{\alpha^2}\cos(4\alpha).

Passo 6

Calcular I_2:
\int_{0}^{4}x\cos(\alpha x)\,dx =\Bigl[\frac{x}{\alpha}\sin(\alpha x)\Bigr]_{0}^{4} -\frac{1}{\alpha}\int_{0}^{4}\sin(\alpha x)\,dx
=\frac{4}{\alpha}\sin(4\alpha)+\frac{\cos(4\alpha)-1}{\alpha^2}.
Então
I_2 =2\Bigl(\frac{4}{\alpha}\sin(4\alpha)+\frac{\cos(4\alpha)-1}{\alpha^2}\Bigr) =\frac{8}{\alpha}\sin(4\alpha)+\frac{2(\cos(4\alpha)-1)}{\alpha^2}.

Passo 7

Juntando I_1-I_2 e multiplicando por \tfrac12:
a_n =\frac12\Bigl[(8/\alpha-2/\alpha^3)\sin(4\alpha) +\tfrac{6}{\alpha^2}\cos(4\alpha)+\tfrac{2}{\alpha^2}\Bigr].
Como \sin(4\alpha)=\sin(n\pi)=0 e \cos(4\alpha)=(-1)^n, fica
a_n =\frac12\Bigl(\frac{6}{\alpha^2}(-1)^n+\frac{2}{\alpha^2}\Bigr) =\frac{1}{\alpha^2}\bigl(1+3(-1)^n\bigr).
Substituindo \alpha^2=(n\pi/4)^2=n^2\pi^2/16, resulta
a_n=\frac{16}{n^2\pi^2}\bigl(1+3(-1)^n\bigr).

Passo 8

Portanto, a série de Fourier em cossenos de f(x)=x^2-2x é
f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\Bigr) =\frac{2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{16}{n^2\pi^2}\bigl(1+3(-1)^n\bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\Bigr).

Resposta

f(x) =\frac{2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{16}{n^2\pi^2}\bigl(1+3(-1)^n\bigr)\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{4}\Bigr).

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