Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x)\). OBSERVAÇÃO: na questão 4 as funções são ampliadas para o tamanho do período como uma função par, ímpar ou como zero no em \(-L \leq x<0\). Encontre a série de Fourier em cossenos com período 4 para a função: \(f(x)= \begin{cases}1, & 0<x \leq 1 \\\\ 0, & 1<x \leq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier em cossenos (extensão par) com período T=4\) da função \[f(x)= \begin{cases} 1, & 0< x \le 1,\\\\ 0, & 1< x \le 2, \end{cases}
que repetimos de modo periódico e par em todo \mathbb{R}\]. Aqui o “meio-período” é \(L=T/2=2.

Passo 2

Para a série de Fourier em cossenos numa função par de período 2L=4 definimos
a_0 = \frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx \quad(n\ge1),
e então
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).

Passo 3

Como L=2 e f(x)=1 só em [0,1], temos
a_0 = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}1\,dx = \frac{1}{2}\cdot1 = \tfrac12.

Passo 4

Para n\ge1,
a_n = \frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{2}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\right]_{0}^{1} = \frac{2}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Note que \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0 se n é par, e vale (-1)^{m} quando n=2m+1. Logo apenas termos ímpares aparecem.

Passo 6

Substituindo em
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
obtemos
f(x)\sim \frac{1}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).
Como a_{2m}=0, podemos reindexar por n=2m+1:
f(x)\sim \frac14 +\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2}{(2m+1)\pi}(-1)^{m}\, \cos\!\Bigl(\tfrac{(2m+1)\pi x}{2}\Bigr).

Resposta

f(x)=\frac14 +\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2(-1)^{m}}{(2m+1)\pi}\, \cos\!\Bigl(\tfrac{(2m+1)\pi x}{2}\Bigr).

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