Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x)\). Encontre a série de Fourier em cossenos com período 4 para a função: \(f(x)= \begin{cases}1, & 0<x \leq 1 \\\\ 0, & 1<x \leq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier em cossenos de período 4\) para a função definida em \((0,2]\) por \[f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x\le1,\\\\ 0, & 1<x\le2, \end{cases}
que se estende de forma par e periódica (período 2L=4\]). Vamos usar a expansão em cossenos no intervalo \([0,L] com L=2.

Passo 2

Para a expansão em cossenos com período 2L define-se
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr),
onde
a_0=\frac{2}{2L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx \quad\text{e}\quad a_n=\frac{2}{2L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx \quad(n\ge1).
Aqui L=2, logo
a_0=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculemos a_0:
\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}1\,dx+\int_{1}^{2}0\,dx =1,
logo
a_0=\frac{1}{2}\cdot1=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_0}{2}=\frac14.

Passo 4

Agora a_n para n\ge1:
a_n =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx
(since f(x)=0 em (1,2]). Integramos:
\int_{0}^{1}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx =\left[\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\right]_{0}^{1} =\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Portanto
a_n =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) =\frac{1}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Observamos que \sin(n\pi/2)=0 para n par e vale ( -1)^{m-1} quando n=2m-1. Logo só termos ímpares aparecem:
a_{2m-1} =\frac{1}{(2m-1)\pi}(-1)^{m-1}, \quad a_{2m}=0.

Passo 6

Reescrevendo a soma apenas sobre os ímpares, obtemos
f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) =\frac14+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{2}\bigr).
Multiplicando numerador e denominador por 2 em cada termo dá uma forma comum:

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac12+\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,m-1}}{2m-1} \cos\!\Bigl(\frac{(2m-1)\pi x}{2}\Bigr) }
Essa é a série de Fourier em cossenos de período 4 para f(x).

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