Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x). Encontre a série de Fourier de f(x)=x, 0 \leq x<1 com período 1 .

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função f(x)=x no intervalo 0\le x<1 estendida periodicamente com período T=1. O conteúdo aqui é a expansão em série de Fourier real num período genérico, e vamos precisar das fórmulas para os coeficientes \displaystyle a_0,\;a_n,\;b_n
num período T=1.

Passo 2

Para período T=1, a série de Fourier se escreve
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(2\pi n x)+b_n\sin(2\pi n x)\bigr],
onde
a_0=\int_{0}^{1}f(x)\,dx,
a_n=2\int_{0}^{1}f(x)\cos\bigl(2\pi n x\bigr)\,dx,
b_n=2\int_{0}^{1}f(x)\sin\bigl(2\pi n x\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculando o termo médio:
a_0=\int_{0}^{1}x\,dx=\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac12.

Passo 4

Agora a_n:
\int_{0}^{1}x\cos(2\pi n x)\,dx =\left[\frac{x\sin(2\pi n x)}{2\pi n}+\frac{\cos(2\pi n x)}{(2\pi n)^2}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{(2\pi n)^2}-\frac{1}{(2\pi n)^2}=0.
Logo
a_n=2\cdot 0=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Finalmente b_n:
\int_{0}^{1}x\sin(2\pi n x)\,dx =\left[-\frac{x\cos(2\pi n x)}{2\pi n}+\frac{\sin(2\pi n x)}{(2\pi n)^2}\right]_{0}^{1} =-\frac{1}{2\pi n}.
Assim
b_n=2\Bigl(-\frac{1}{2\pi n}\Bigr)=-\frac{1}{\pi n}.

Passo 6

Reunindo tudo, só sobra o termo constante e os senos:
f(x)=\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(0\cdot\cos(2\pi n x)-\frac{1}{\pi n}\sin(2\pi n x)\Bigr) =\frac12-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n}.

Resposta

\boxed{\,x=\frac12-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n}\,,\quad 0\le x<1,\\ \text{período }1.}í

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