Mostre que o Método do Ponto Fixo, tem convergência, pelo menos, linear. Isto é,
Obs: r é um zero da função f.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Método do Ponto Fixo, dado por
com
e
zero de
, satisfaz
com
. O conteúdo usado será a expansão em série de Taylor de
em torno de
e a definição de convergência linear.
Passo 2
Definimos o erro
. Então
Queremos relacionar
com
.
Passo 3
Como
é diferenciável em torno de
, aplicamos o Teorema de Taylor com resto em ordem 2:
onde o resto satisfaz
. Como
, vem
Passo 4
Dividindo por
e tomando limite em
, o termo
tende a zero, logo
Como para convergência local de ponto fixo é necessário
, concluímos que
ou seja, a convergência é, pelo menos, linear.
Resposta
Mostrou-se que
com
, provando convergência, no mínimo, linear.