Mostre que o Método do Ponto Fixo, tem convergência, pelo menos, linear. Isto é,
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|x_{n+1}-r\right|}{\left|x_{n}-r\right|}=c, \text { onde } 0 \leq c \leq 1
Obs: r é um zero da função f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Método do Ponto Fixo, dado por
x_{n+1} = g(x_n),
com g(r)=r e r zero de f, satisfaz
\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert x_{n+1}-r\rvert}{\lvert x_n - r\rvert}=c,
com 0\le c\le1. O conteúdo usado será a expansão em série de Taylor de g em torno de r e a definição de convergência linear.

Passo 2

Definimos o erro e_n = x_n - r. Então
e_{n+1} = x_{n+1}-r = g(x_n) - g(r).
Queremos relacionar e_{n+1} com e_n.

Passo 3

Como g é diferenciável em torno de r, aplicamos o Teorema de Taylor com resto em ordem 2:
g(x_n) = g(r) + g'(r)\,(x_n - r) + R_n,
onde o resto satisfaz R_n = O\bigl((x_n-r)^2\bigr)=O(e_n^2). Como g(r)=r, vem
e_{n+1} = g'(r)\,e_n + O(e_n^2).

Passo 4

Dividindo por \lvert e_n\rvert e tomando limite em n\to\infty, o termo O(e_n^2)/\lvert e_n\rvert=O(e_n) tende a zero, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert e_{n+1}\rvert}{\lvert e_n\rvert} =\lim_{n\to\infty}\Bigl\lvert g'(r) + O(e_n)\Bigr\rvert =\lvert g'(r)\rvert.
Como para convergência local de ponto fixo é necessário \lvert g'(r)\rvert<1, concluímos que
c = \lvert g'(r)\rvert,\quad 0\le c<1,
ou seja, a convergência é, pelo menos, linear.

Resposta

Mostrou-se que
\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert x_{n+1}-r\rvert}{\lvert x_n-r\rvert} =\lvert g'(r)\rvert,
com 0\le\lvert g'(r)\rvert<1, provando convergência, no mínimo, linear.

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