Funções Lucro Marginal - Suponha que a relação entre o preço unitário p em dólares e a quantidade demandada x do sistema de caixas de som da Acrosonic modelo F é dada pela equação p=-0,02 x+400(0 <= x <= 20000) e suponha que o custo de produção de x unidades dos sistema de caixas de som da Acrosonic seja de C(x)=100 x+200000 dólares.
Calcule L(2000) e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função preço-demanda p(x) = -0,02x + 400 para 0 <= x <= 20000 e o custo de produção C(x) = 100x + 200000. O que nos pedem é calcular a função lucro marginal em x=2000, ou seja, a derivada do lucro em relação à quantidade naquele ponto.

Passo 2

Para achar o lucro, primeiro montamos a receita R(x), que é preço vezes quantidade. Temos
R(x) = x,p(x) = xl(-0,02x + 400r) = -0,02x^2 + 400x

Passo 3

O lucro Pi(x) é a diferença entre receita e custo. Assim,
Pi(x) = R(x) - C(x) = l(-0,02x^2 + 400xr) - l(100x + 200000r)
Agrupando termos,
Pi(x) = -0,02x^2 + 300x - 200000

Passo 4

A função lucro marginal L(x) é a derivada de Pi(x). Calculando:
L(x) = Pi'(x) = ddxl(-0,02x^2 + 300x - 200000r) = -0,04x + 300

Passo 5

Agora avaliamos em x = 2000:
L(2000) = -0,04times 2000 + 300 = -80 + 300 = 220
Isso significa que, ao produzir a 2000ª unidade, o aumento de uma unidade a mais gera um acréscimo de aproximadamente $220 no lucro.

Resposta

220 dólares

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