Funções Lucro Marginal - Suponha que a relação entre o preço unitário
em dólares e a quantidade demandada x do sistema de caixas de som da Acrosonic modelo F é dada pela equação
suponha que o custo de produção de x unidades dos sistema de caixas de som da Acrosonic seja de
dólares.
Esboce o gráfico da função lucro L.
Esboce o gráfico da função lucro L.
Passo 1
O enunciado nos dá a função preço x quantidade p(x)=−0,02x+400 e o custo C(x)=100x+200000 e pede para esboçar o gráfico da função lucro L(x). O conteúdo aqui é de funções de receita e lucro, e vamos precisar primeiro achar a receita R(x)=p(x)⋅x e depois L(x)=R(x)−C(x).
Passo 2
A receita total R(x) é dada por multiplicar o preço pela quantidade:
Esse passo usa a definição de receita como produto preço×quantidade.
Passo 3
O lucro L(x) é a diferença entre receita e custo, ou seja:
Aqui aplicamos a teoria de lucro como R−C.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, analisamos essa parábola de concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo). Calculamos os pontos-chave:
• Vértice: ,
• Vértice:
• Zeros (quando L(x)=0): resolve-se
• Valores nas extremidades do domínio [0,20000]:
Esses pontos nos permitem desenhar o esboço da parábola.
Passo 5
O esboço final é uma parábola que começa em
, sobe atravessando o eixo x em
, atinge o máximo
, desce cortando de novo o eixo x em
e chega a
.
Resposta
O gráfico de L(x)=−0,02x²+300x−200000 em [0,20000] é uma parábola voltada para baixo com vértice em (7500,925000), zeros em x≈699 e x≈14301, valor inicial L(0)=−200000 e valor em 20000 L(20000)=−2200000.