Funções Lucro Marginal - Suponha que a relação entre o preço unitário p em dólares e a quantidade demandada x do sistema de caixas de som da Acrosonic modelo F é dada pela equação p=-0,02 x+400(0 <= x <= 20000) e suponha que o custo de produção de x unidades dos sistema de caixas de som da Acrosonic seja de C(x)=100 x+200000 dólares.
Esboce o gráfico da função lucro L.

Passo 1

O enunciado nos dá a função preço x quantidade p(x)=−0,02x+400 e o custo C(x)=100x+200000 e pede para esboçar o gráfico da função lucro L(x). O conteúdo aqui é de funções de receita e lucro, e vamos precisar primeiro achar a receita R(x)=p(x)⋅x e depois L(x)=R(x)−C(x).

Passo 2

A receita total R(x) é dada por multiplicar o preço pela quantidade:
R(x)=p(x)cdot x=l(-0,02x+400r)x=-0,02x^2+400x
Esse passo usa a definição de receita como produto preço×quantidade.

Passo 3

O lucro L(x) é a diferença entre receita e custo, ou seja:
L(x)=R(x)-C(x)=l(-0,02x^2+400xr)-(100x+200000)=-0,02x^2+300x-200000
Aqui aplicamos a teoria de lucro como R−C.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, analisamos essa parábola de concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo). Calculamos os pontos-chave:
• Vértice: xv=-tfracb2a=-tfrac3002(-0,02)=7500,
L(7500)=-0,02(7500)^2+300(7500)-200000=925000
• Zeros (quando L(x)=0): resolve-se -0,02x^2+300x-200000=0, dando aproximadamente xapprox699,3 e xapprox14300,7.
• Valores nas extremidades do domínio [0,20000]:
L(0)=-200000, L(20000)=-2200000
Esses pontos nos permitem desenhar o esboço da parábola.

Passo 5

O esboço final é uma parábola que começa em L(0)=-200000, sobe atravessando o eixo x em xapprox699, atinge o máximo (7500,925000), desce cortando de novo o eixo x em xapprox14301 e chega a L(20000)=-2200000.

Resposta

O gráfico de L(x)=−0,02x²+300x−200000 em [0,20000] é uma parábola voltada para baixo com vértice em (7500,925000), zeros em x≈699 e x≈14301, valor inicial L(0)=−200000 e valor em 20000 L(20000)=−2200000.

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