Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo:
lx=ln (t) y=t^2;

Passo 1

A gente tem a curva parametrizada por x=ln(t), y=t², ou seja r(t)=lang<=ln(t),t^2rang<=. Estamos em cálculo de curvas: para achar o tangente unitário usamos T(t)=r'(t)/|r'(t)| e para o normal unitário usamos N(t)=T'(t)/|T'(t)|.

Passo 2

Derivo r(t):
r'(t)=lang<=1/t,;2trang<=
A velocidade é
|r'(t)|=raiz(1/t)^2+(2t)^2=raiz1+4t^4t
Logo o tangente unitário é

Passo 3

T(t)=r'(t)|r'(t)|= raclang<=1/t,2trang<=raiz1+4t^4t=lang<=1,2t^2rang<=raiz1+4t^4

Passo 4

Para o normal, calculo a derivada de T(t)=lang<= T1,T2rang<=:
T'(t)=llang<= -8t^3(1+4t^4)^3/2,;4t(1+4t^4)^3/2rrang<=

Passo 5

A norma de T'(t) é
|T'(t)|=4t1+4t^4
Então o normal unitário fica

Passo 6

N(t)=T'(t)|T'(t)|= raclang<=-8t^3,4trang<=/(1+4t^4)^3/24t/(1+4t^4)=lang<=-2t^2,1rang<=raiz1+4t^4

Resposta

T(t)=lang<=1,2t^2rang<=raiz1+4t^4, N(t)=lang<=-2t^2,1rang<=raiz1+4t^4

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