Para as funções a seguir, determine se são pares ou ímpares:
f(x)=\operatorname{arctg}(x),|x|<1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a paridade da função
f(x)=\operatorname{arctg}(x)
com domínio \{x\mid|x|<1\}. O conteúdo aqui é paridade de função: precisamos determinar se f(-x)=f(x) (par) ou f(-x)=-f(x) (ímpar).

Passo 2

Lembrando as definições:
f é par se, para todo x do domínio,
f(-x)=f(x).
f é ímpar se, para todo x do domínio,
f(-x)=-f(x).

Passo 3

Calculamos f(-x):
f(-x)=\operatorname{arctg}(-x).
Sabemos da propriedade da função arco-tangente que
\operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg}(x).
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f(-x)=-\operatorname{arctg}(x)=-f(x).

Resposta

A função f(x)=\operatorname{arctg}(x) é ímpar.

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