Para as funções a seguir, determine se são pares ou ímpares:
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}},|x|<1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função
f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}},\quad |x|<1
é par ou ímpar. O conteúdo aqui é paridade de funções, que a gente resolve checando se \,f(-x)=f(x) (função par) ou \,f(-x)=-f(x) (função ímpar).

Passo 2

Antes de mais nada, é preciso garantir que o domínio de f seja simétrico em relação a zero, pois só assim faz sentido falar em paridade. Aqui o domínio é \{x\mid |x|<1\}=(-1,1), que é simétrico (se x está, então -x também está).

Passo 3

Calculemos f(-x):
f(-x) = \frac{1}{1 + (-x)^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}}.
Como esse resultado coincide exatamente com f(x), temos
f(-x) = f(x).

Passo 4

Pela definição de paridade, f(-x)=f(x) significa que f é uma função par.

Resposta

A função f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} é par.

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