Qual das funções a seguir é exponencial?
a) f(x)=x^{2}-5 x+6
b) f(x)=3 x+2
c) f(x)=\sqrt{3 x}
d) f(x)=3^{2}+5 x
e) f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual das funções a seguir é exponencial?” e dá cinco opções. Vou listar exatamente as funções que recebemos:
  • a) f(x)=x^{2}-5x+6
  • b) f(x)=3x+2
  • c) f(x)=\sqrt{3x}
  • d) f(x)=3^{2}+5x
  • e) f(x)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x}
A pergunta pede escolher qual dessas é uma função exponencial.

Passo 2

O que é uma função exponencial? Vou explicar de um jeito bem claro e devagar.
  • Uma função exponencial básica tem a forma \;f(x)=a^{x}\;, onde a é uma constante positiva e diferente de 1 (ou seja, a>0 e a\neq1).
  • Mais geralmente, permitem-se constantes multiplicando e um coeficiente linear no expoente: \;f(x)=C\cdot a^{kx}\;, onde C é constante não nula, a>0, a\neq1 e k\neq0. Exemplos: \;2^{x}, \;3\cdot(1/2)^{2x}, \;(5)^{3x}.
  • Característica chave: a variável x aparece no expoente, não como base elevada a potência fixa com expoente numérico. Se x aparece como potência do próprio x (por exemplo x^2) ou dentro de uma raiz (3x)^{1/2}, isso não é exponencial — são polinômios ou funções potência/raiz.
Agora vamos usar essa definição para examinar cada alternativa.

Passo 3

Analisando a) f(x)=x^{2}-5x+6.
  • Isso é um polinômio de grau 2 porque tem termo x^{2}. A variável aparece como base em potências inteiras (expoentes constantes), não no expoente de uma base constante.
  • Forma geral de polinômio: \;c_2 x^2 + c_1 x + c_0\;. Aqui c_2=1, c_1=-5, c_0=6.
  • Conclusão: a) não é exponencial.

Passo 4

Analisando b) f(x)=3x+2.
  • Isso é uma função linear (reta). A variável aparece multiplicada por uma constante: forma \;mx+b\; com m=3, b=2.
  • Não há x no expoente de uma base constante.
  • Conclusão: b) não é exponencial.

Passo 5

Analisando c) f(x)=\sqrt{3x}.
  • Podemos reescrever \sqrt{3x}=(3x)^{1/2}. Novamente a variável x está dentro da base e elevada a uma potência fixa 1/2. Isso é uma função potência/raiz, não exponencial.
  • Observação de domínio (útil para prova): exige 3x\ge0, ou seja x\ge0, mas isso não a transforma em exponencial.
  • Conclusão: c) não é exponencial.

Passo 6

Analisando d) f(x)=3^{2}+5x.
  • Primeiro simplificar: 3^{2}=9. Então f(x)=9+5x, que é outra função linear (forma \;mx+b\; com m=5, b=9).
  • A variável x não está no expoente de uma base constante; está multiplicada por 5.
  • Conclusão: d) não é exponencial.

Passo 7

Analisando e) f(x)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x}.
  • Aqui a variável x aparece no expoente: isso já é um forte indício de exponencial. Vamos reescrever de forma clara usando propriedades de potências:
\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x}=\left(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2}\right)^{x}=\left(\dfrac{1}{25}\right)^{x}.
  • Essa é exatamente da forma \;a^{x}\; com a=\dfrac{1}{25}. Note que a>0 e a\neq1 (de fato 0<a<1), então é uma base válida para uma exponencial.
  • Também se encaixa na forma mais geral \;C\cdot a^{kx}\; com C=1, a=\dfrac{1}{5} e k=2.
  • Portanto e) é uma função exponencial. (Adendo útil para prova: como 0<a<1, essa exponencial é decrescente.)

Passo 8

Resumo final: entre as opções, só a alternativa e) tem a variável x no expoente de uma base constante positiva diferente de 1, portanto é exponencial. As demais são polinomial, linear ou função potência/raiz.

Resposta

e) \,f(x)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x}

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