Seja
. O que acontece com os valores da função quando o valor de
aumenta?
a) A função cresce indefinidamente, mas de modo limitado.
b) A função decresce e sua imagem se aproxima de 0 .
c) A função permanece constante.
d) A função cresce e se aproxima de infinito.
e) A função é oscilante, aumentando e diminuindo alternadamente.
a) A função cresce indefinidamente, mas de modo limitado.
b) A função decresce e sua imagem se aproxima de 0 .
c) A função permanece constante.
d) A função cresce e se aproxima de infinito.
e) A função é oscilante, aumentando e diminuindo alternadamente.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta o que acontece com os valores de
quando
aumenta. As alternativas são:
a) A função cresce indefinidamente, mas de modo limitado.
b) A função decresce e sua imagem se aproxima de .
c) A função permanece constante.
d) A função cresce e se aproxima de infinito.
e) A função é oscilante, aumentando e diminuindo alternadamente.
a) A função cresce indefinidamente, mas de modo limitado.
b) A função decresce e sua imagem se aproxima de
c) A função permanece constante.
d) A função cresce e se aproxima de infinito.
e) A função é oscilante, aumentando e diminuindo alternadamente.
Vou listar claramente as informações fornecidas:
- A base da potência é
, um número positivo menor que . - A variável
aumenta (queremos o comportamento quando cresce).
Passo 2
Vamos ver alguns valores concretos para entender o padrão (pegando valores fáceis, inteiros):
Perceba que à medida que aumentamos
em
, o valor da função é multiplicado por
. Ou seja, os valores formam a sequência
que vai ficando cada vez menor e se aproxima de
.
Passo 3
Explicação geral (não só para inteiros): se tomarmos
então
Como
é um número positivo menor que
(porque a base é
e
), temos
Isto mostra, de forma direta e elementar, que sempre que aumentamos
(ou seja, escolhemos
com
) o valor da função diminui. Portanto
é estritamente decrescente em todo o domínio.
Passo 4
Mostrando que os valores ficam sempre positivos e se aproximam de
: para qualquer
vale
(potência de número positivo). Para o limite quando
vai para
podemos escrever a potência como exponencial:
Como
, o produto
tende a
quando
. Assim
Ou seja, os valores da função tendem a
quando
cresce, sem nunca alcançar
(sempre positivos).
Passo 5
(Comentário extra e intuitivo) A razão disso é simples de visualizar: cada vez que
aumenta, multiplica-se a altura por
— então os números vão ficando cada vez menores e “se aproximam” de zero. Não há oscilações, não há crescimento para infinito e a função não é constante.
Passo 6
(Verificação alternativa com cálculo diferencial, caso já conheça derivada) A derivada é
Aqui
e
, então
para todo
. Derivada negativa confirma que a função é estritamente decrescente.
Resposta
b) A função decresce e sua imagem se aproxima de 0.