Seja f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}. O que acontece com os valores da função quando o valor de x aumenta?
a) A função cresce indefinidamente, mas de modo limitado.
b) A função decresce e sua imagem se aproxima de 0 .
c) A função permanece constante.
d) A função cresce e se aproxima de infinito.
e) A função é oscilante, aumentando e diminuindo alternadamente.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x} e pergunta o que acontece com os valores de f(x) quando x aumenta. As alternativas são:
a) A função cresce indefinidamente, mas de modo limitado.
b) A função decresce e sua imagem se aproxima de 0.
c) A função permanece constante.
d) A função cresce e se aproxima de infinito.
e) A função é oscilante, aumentando e diminuindo alternadamente.
Vou listar claramente as informações fornecidas:
  • A base da potência é \tfrac{1}{2}, um número positivo menor que 1.
  • A variável x aumenta (queremos o comportamento quando x cresce).

Passo 2

Vamos ver alguns valores concretos para entender o padrão (pegando valores fáceis, inteiros):
f(0)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^0=1,\qquad f(1)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^1=\tfrac{1}{2},\qquad f(2)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4},\qquad f(3)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.
Perceba que à medida que aumentamos x em 1, o valor da função é multiplicado por \tfrac{1}{2}. Ou seja, os valores formam a sequência 1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8},\dots que vai ficando cada vez menor e se aproxima de 0.

Passo 3

Explicação geral (não só para inteiros): se tomarmos t>0 então
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+t}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^t.
Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^t é um número positivo menor que 1 (porque a base é \tfrac{1}{2} e t>0), temos
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x+t}<\left(\tfrac{1}{2}\right)^x.
Isto mostra, de forma direta e elementar, que sempre que aumentamos x (ou seja, escolhemos x+t com t>0) o valor da função diminui. Portanto f é estritamente decrescente em todo o domínio.

Passo 4

Mostrando que os valores ficam sempre positivos e se aproximam de 0: para qualquer x vale \left(\tfrac{1}{2}\right)^x>0 (potência de número positivo). Para o limite quando x vai para +\infty podemos escrever a potência como exponencial:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = e^{x\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2<0, o produto x\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) tende a -\infty quando x\to+\infty. Assim
\lim_{x\to+\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = e^{-\infty}=0.
Ou seja, os valores da função tendem a 0 quando x cresce, sem nunca alcançar 0 (sempre positivos).

Passo 5

(Comentário extra e intuitivo) A razão disso é simples de visualizar: cada vez que x aumenta, multiplica-se a altura por \tfrac{1}{2} — então os números vão ficando cada vez menores e “se aproximam” de zero. Não há oscilações, não há crescimento para infinito e a função não é constante.

Passo 6

(Verificação alternativa com cálculo diferencial, caso já conheça derivada) A derivada é
f'(x)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)^x.
Aqui \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)<0 e \left(\tfrac{1}{2}\right)^x>0, então f'(x)<0 para todo x. Derivada negativa confirma que a função é estritamente decrescente.

Resposta

b) A função decresce e sua imagem se aproxima de 0.

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