As funções a seguir representam rendimentos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? O que acontece com o produto marginal de cada fator isolado quando esse fator aumenta e o outro se mantém constante?
q=(2 L+2 K)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção
q(L,K) = \sqrt{2L + 2K}
e pede: (i) identificar se ela apresenta rendimentos de escala crescentes, constantes ou decrescentes; (ii) analisar o comportamento do produto marginal de cada insumo isolado quando esse insumo cresce, mantendo o outro fixo. Vamos usar a propriedade de homogeneidade para rendimentos de escala e derivadas parciais para o produto marginal.

Passo 2

Testamos rendimentos de escala escalando ambos os insumos por t>0:
q(tL,\,tK) = \sqrt{2\,(tL) + 2\,(tK)} = \sqrt{t\bigl(2L+2K\bigr)} = \sqrt{t}\,\sqrt{2L+2K} = t^{1/2}\,q(L,K).
Como o fator t^{1/2} cresce menos que t, os rendimentos de escala são decrescentes.

Passo 3

Calculamos o produto marginal de trabalho L e de capital K derivando em relação a cada variável, mantendo a outra fixa. Para L:
\frac{\partial q}{\partial L} = \frac{1}{2}\,(2)\,\bigl(2L+2K\bigr)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2L+2K}}.
De modo análogo para K:
\frac{\partial q}{\partial K} = \frac{1}{\sqrt{2L+2K}}.

Passo 4

Se aumentamos L mantendo K constante, o termo 2L+2K no denominador cresce, fazendo
\frac{\partial q}{\partial L} = \frac{1}{\sqrt{2L+2K}}
diminuir. Logo, o produto marginal de L é decrescente em L. Mesma lógica vale para K: ao aumentar K com L fixo, \partial q/\partial K também diminui.

Resposta

Decrescentes. O produto marginal de cada insumo \partial q/\partial L e \partial q/\partial K diminui à medida que se aumenta esse insumo, mantendo o outro constante.

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