As funções a seguir representam rendimentos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? O que acontece com o produto marginal de cada fator isolado quando esse fator aumenta e o outro se mantém constante?
q=3 L K^{2}

Passo 1

Temos a função de produção
q = 3\,L\,K^{2}
e queremos (a) classificar os rendimentos de escala e (b) ver como variam os produtos marginais de L e de K quando cada fator aumenta isoladamente, mantendo o outro constante.

Passo 2

Para verificar os rendimentos de escala, substituímos (L,K) por (tL,tK) e comparamos com t\,q:
q(tL,tK) =3\,(tL)\,(tK)^{2} =3\,tL\,t^{2}K^{2} =t^{3}\,(3\,L\,K^{2}) =t^{3}\,q(L,K).
Como o fator é t^{3} e 3>1, a função tem rendimentos de escala crescentes.

Passo 3

Calculamos os produtos marginais por derivadas parciais:
\text{MP}_{L} =\frac{\partial q}{\partial L} =3\,K^{2}, \qquad \text{MP}_{K} =\frac{\partial q}{\partial K} =3\,L\cdot 2K =6\,L\,K.

Passo 4

Agora analisamos o que ocorre quando cada fator cresce isoladamente:
– Se L aumenta e K fica constante, então \text{MP}_{L}=3\,K^{2}
é independente de L e permanece constante.
– Se K aumenta e L fica constante, então \text{MP}_{K}=6\,L\,K
é uma função crescente de K, logo o produto marginal de K aumenta.

Resposta

(a) Rendimentos de escala crescentes.
(b) Ao aumentar L isoladamente ( K constante), \text{MP}_{L} permanece constante. Ao aumentar K isoladamente ( L constante), \text{MP}_{K} aumenta.

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