As funções a seguir representam rendimentos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? O que acontece com o produto marginal de cada fator isolado quando esse fator aumenta e o outro se mantém constante?
q=L^{1 / 2} K^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de produção
q = L^{1/2}K^{1/2}.
O conteúdo aqui é rendimentos de escala e produtos marginais. Para resolver, vamos usar a definição de rendimento de escala—examinando q(tL,tK)—e calcular as derivadas parciais de q em relação a L e a K.

Passo 2

Para verificar o tipo de rendimento de escala, calculemos
q(tL,tK) = (tL)^{1/2}\,(tK)^{1/2} = t^{1/2+1/2}\,L^{1/2}K^{1/2} = t\,q(L,K).
Como q(tL,tK)=t\,q(L,K), concluímos que a função apresenta retornos constantes de escala.

Passo 3

O produto marginal de trabalho MP_L é
MP_L = \frac{\partial q}{\partial L} = \frac12\,L^{-1/2}K^{1/2} = \frac12\Bigl(\frac{K}{L}\Bigr)^{1/2}.
O produto marginal de capital MP_K é
MP_K = \frac{\partial q}{\partial K} = \frac12\,L^{1/2}K^{-1/2} = \frac12\Bigl(\frac{L}{K}\Bigr)^{1/2}.

Passo 4

Se aumentarmos L mantendo K fixo, o fator \bigl(K/L\bigr)^{1/2} cai conforme L cresce, de modo que MP_L decresce. De forma análoga, ao aumentar K com L constante, \bigl(L/K\bigr)^{1/2} cai conforme K cresce, então MP_K também decresce.

Resposta

Rendimento de escala constante. Os produtos marginais de L e de K diminuem quando o respectivo fator aumenta, mantendo-se o outro constante.

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