As funções de transferência fornecidas abaixo correspondem a sistemas causais. Para cada sistema, esboce a localização dos polos no plano complexo e determine a estabilidade assintótica do mesmo.
H(s)=\frac{s^{2}+1}{s^{2}+2 s+10}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência do sistema causal
H(s)=\frac{s^{2}+1}{s^{2}+2s+10}
O que se pede:
  • Esboçar a localização dos polos no plano complexo (ou seja, encontrar as raízes do denominador e indicar suas coordenadas no plano \Re(s)\times\Im(s)).
  • Determinar a estabilidade assintótica do sistema (ou seja, se as respostas naturais do sistema tendem a zero com o tempo).
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: s^{2}+1.
  • Denominador: s^{2}+2s+10.
  • O sistema é causal (isso afeta normalmente a região de convergência, mas a estabilidade assintótica depende da posição dos polos).

Passo 2

O que são polos e por que importam para estabilidade (aula curta e prática).
  • Uma função de transferência H(s) é uma razão de polinômios em s. Os polos são as raízes do polinômio do denominador; ou seja, valores de s que fazem o denominador zero.
  • Para sistemas lineares invariantes no tempo contínuos e causais, a estabilidade assintótica (as respostas naturais tendendo a zero quando t\to\infty) ocorre se, e somente se, todos os polos têm parte real estritamente negativa (estão no semiplano esquerdo \Re(s)<0).
  • Intuição rápida: um polo em s=\sigma+j\omega gera termos no domínio temporal que se parecem com e^{\sigma t}\cos(\omega t) ou e^{\sigma t}\sin(\omega t). Se \sigma<0 esses termos decaem exponencialmente; se \sigma>0 crescem; se \sigma=0 oscilam sem decair.

Passo 3

Encontrar os polos: resolver o polinômio do denominador
s^{2}+2s+10=0.
Usa-se a fórmula quadrática. Para um polinômio as^{2}+bs+c=0 as raízes são
s=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=2, c=10. Calcula-se o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot10=4-40=-36.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
s=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{-2\pm j6}{2}=-1\pm j3.

Passo 4

Interpretação e coordenadas para o esboço
  • Os polos são s=-1+j3 e s=-1-j3.
  • Em coordenadas do plano complexo:
    • Polo 1: \bigl(\Re(s),\Im(s)\bigr)=(-1,\,3).
    • Polo 2: \bigl(\Re(s),\Im(s)\bigr)=(-1,\,-3).
  • Para esboçar: no eixo horizontal (eixo real) marcar -1; no eixo vertical (eixo imaginário) marcar +3 e -3; colocar uma cruz (×) nesses dois pontos para indicar polos.

Passo 5

Nota sobre zeros (útil para o desenho, embora não influenciem estabilidade)
  • As raízes do numerador s^{2}+1=0 são
s=\pm j,
isto é, zeros em (0,+1) e (0,-1) no plano imaginário.
  • No esboço usual marca-se zeros com círculos (o) em (0,\pm1). Reforçando: zeros não mudam a estabilidade, apenas alteram a resposta em frequência e a forma do impulso/resposta.

Passo 6

Determinar a estabilidade assintótica (argumento concreto)
  • Critério: sistema assintoticamente estável se todas as partes reais dos polos forem negativas.
  • Aqui as partes reais dos polos são \Re(-1\pm j3)=-1, que é estritamente negativa.
  • Outro argumento intuitivo em tempo: os modos naturais associados têm fator exponencial e^{-1\cdot t} multiplicando senos/cosenos com frequência 3; a envoltória e^{-t} decai para zero quando t\to\infty. Assim as respostas naturais decaem e o sistema é assintoticamente estável.

Resposta

Polos: s=-1\pm j3 (localizados no semiplano esquerdo, em (-1,\,3) e (-1,\,-3)).
Estabilidade assintótica: o sistema é assintoticamente estável (todos os polos têm parte real negativa).

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