As funções de transferência fornecidas abaixo correspondem a sistemas causais. Para cada sistema, esboce a localização dos polos no plano complexo e determine a estabilidade assintótica do mesmo.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do sistema causal
O que se pede:
- Esboçar a localização dos polos no plano complexo (ou seja, encontrar as raízes do denominador e indicar suas coordenadas no plano
). - Determinar a estabilidade assintótica do sistema (ou seja, se as respostas naturais do sistema tendem a zero com o tempo).
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O sistema é causal (isso afeta normalmente a região de convergência, mas a estabilidade assintótica depende da posição dos polos).
Passo 2
O que são polos e por que importam para estabilidade (aula curta e prática).
- Uma função de transferência
é uma razão de polinômios em . Os polos são as raízes do polinômio do denominador; ou seja, valores de que fazem o denominador zero. - Para sistemas lineares invariantes no tempo contínuos e causais, a estabilidade assintótica (as respostas naturais tendendo a zero quando
) ocorre se, e somente se, todos os polos têm parte real estritamente negativa (estão no semiplano esquerdo ). - Intuição rápida: um polo em
gera termos no domínio temporal que se parecem com ou . Se esses termos decaem exponencialmente; se crescem; se oscilam sem decair.
Passo 3
Encontrar os polos: resolver o polinômio do denominador
Usa-se a fórmula quadrática. Para um polinômio
as raízes são
Aqui
,
,
. Calcula-se o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Passo 4
Interpretação e coordenadas para o esboço
- Os polos são
e . - Em coordenadas do plano complexo:
- Polo 1:
. - Polo 2:
.
- Polo 1:
- Para esboçar: no eixo horizontal (eixo real) marcar
; no eixo vertical (eixo imaginário) marcar e ; colocar uma cruz (×) nesses dois pontos para indicar polos.
Passo 5
Nota sobre zeros (útil para o desenho, embora não influenciem estabilidade)
- As raízes do numerador
são
isto é, zeros em
e
no plano imaginário.
- No esboço usual marca-se zeros com círculos (o) em
. Reforçando: zeros não mudam a estabilidade, apenas alteram a resposta em frequência e a forma do impulso/resposta.
Passo 6
Determinar a estabilidade assintótica (argumento concreto)
- Critério: sistema assintoticamente estável se todas as partes reais dos polos forem negativas.
- Aqui as partes reais dos polos são
, que é estritamente negativa. - Outro argumento intuitivo em tempo: os modos naturais associados têm fator exponencial
multiplicando senos/cosenos com frequência ; a envoltória decai para zero quando . Assim as respostas naturais decaem e o sistema é assintoticamente estável.
Resposta
Polos:
(localizados no semiplano esquerdo, em
e
).
Estabilidade assintótica: o sistema é assintoticamente estável (todos os polos têm parte real negativa).
Estabilidade assintótica: o sistema é assintoticamente estável (todos os polos têm parte real negativa).