A velocidade de rotação
de um satélite é ajustada alterando o comprimento do braço
. Dada a função de transferência abaixo, calcule a saída
, caso a entrada
seja um degrau unitário.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência e pede a saída temporal
quando a entrada
é um degrau unitário. Informações relevantes:
- Função de transferência:
- Entrada:
é degrau unitário, portanto sua transformada de Laplace é - O que se pede: calcular
para .
Passo 2
Primeira operação: obter
multiplicando a função de transferência por
. Assim,
Explicação rápida (útil para a prova): a transformada de Laplace é linear e no domínio
a saída é o produto da função de transferência pela transformada da entrada. Então, para inverter para o tempo, devemos decompor
em termos cuja transformada inversa seja conhecida.
Passo 3
Fazer decomposição em frações parciais. Assumimos a forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Método prático para achar
: avaliar a identidade em valores de
que anulam fatores.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Ainda falta
. Podemos obter
escolhendo um valor de
qualquer (por exemplo
) e substituindo
encontrados:
- Para
:
Lado esquerdo:.
Lado direito (substituindo, , ):
Igualando a
obtemos
Resumo dos coeficientes:
Passo 4
Reescrevendo
com os coeficientes:
Agora usamos transformadas inversas conhecidas:
-
(degrau unitário), -
, -
.
Aplicando linearidade da transformada inversa:
Comentário didático: o termo
vira uma constante em regime permanente; termos com
e
viram expoentes decrescentes; o termo com
vira um termo proporcional a
— isso gera a resposta transitória típica de sistemas com pólos de multiplicidade maior que 1.
Passo 5
Verificações rápidas (útil na prova para checar erros):
- Valor final (teorema do valor final):
. Pela função de transferência, ganho DC é , confere. - Valor inicial:
, que costuma ocorrer quando não há componente impulsiva na entrada e sistema inicia em zero — bate com a expectativa.