As funções de transferência fornecidas abaixo correspondem a sistemas causais. Para cada sistema, esboce a localização dos polos no plano complexo e determine a estabilidade assintótica do mesmo.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência causal
e pede duas coisas:
- esboçar a localização dos polos no plano complexo (ou seja, encontrar os polos e indicar onde eles ficam no eixo real/complexo);
- determinar se o sistema é assintoticamente estável.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- o numerador é
(possíveis zeros); - o denominador é
(os polos são as raízes deste polinômio).
Passo 2
Vamos encontrar os polos: são as raízes do denominador
.
Para fatorar, buscamos dois números que multiplicam e somam
. Esses números são
e
. Assim:
Para fatorar, buscamos dois números que multiplicam
Portanto, os polos são as soluções de
, ou seja:
Passo 3
Vamos também identificar os zeros (útil para o esboço): são as raízes do numerador
.
Essa expressão fatoriza como:
Essa expressão fatoriza como:
logo os zeros são
Passo 4
Esboço da localização no plano complexo (descrição):
- marcar um “×” (polo) em
(no eixo real, à esquerda da origem); - marcar um “×” (polo) em
(no eixo real, à direita da origem); - marcar um “o” (zero) em
; - marcar um “o” (zero) em
.
Observação importante: não há cancelamento polo-zero, porque os polos estão em
e
enquanto os zeros estão em
e
. Então os polos permanecem e determinam a estabilidade.
Passo 5
Vou explicar a condição de estabilidade assintótica de forma didática e concreta:
- Para um sistema linear tempo-invariante causal contínuo, a resposta livre (modo natural) é combinação de termos do tipo
, onde são os polos. - Um modo
tende a zero quando se e somente se a parte real de for negativa, isto é . - Portanto, o sistema é assintoticamente estável se e somente se todos os polos tiverem
(todos estritamente no semiplano esquerdo).
Passo 6
Aplicando a condição aos polos que encontramos:
- para o polo
temos : esse modo decai exponencialmente como ; - para o polo
temos : esse modo cresce exponencialmente como .
Como existe um polo com parte real positiva (
), o termo associado cresce sem limite e domina a resposta quando
. Logo o sistema NÃO é assintoticamente estável (é instável).
Passo 7
Resumo físico/intuitivo (para você guardar na prova):
- polos no semiplano esquerdo
cada modo decai sistema estável; - qualquer polo com parte real positiva
existe modo que cresce sistema instável; - polos exatamente no eixo imaginário sem multiplicidade
modos permanentes (marginalmente estável), e com multiplicidade instável.
No nosso caso, a presença do polo em
garante instabilidade.
Resposta
Polos:
e
Estabilidade assintótica: o sistema é instável (não assintoticamente estável).
Estabilidade assintótica: o sistema é instável (não assintoticamente estável).