As funções de transferência fornecidas abaixo correspondem a sistemas causais. Para cada sistema, esboce a localização dos polos no plano complexo e determine a estabilidade assintótica do mesmo.
H(s)=\frac{s^{2}-1}{s^{2}+s-6}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência causal
H(s)=\frac{s^{2}-1}{s^{2}+s-6},
e pede duas coisas:
  • esboçar a localização dos polos no plano complexo (ou seja, encontrar os polos e indicar onde eles ficam no eixo real/complexo);
  • determinar se o sistema é assintoticamente estável.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • o numerador é \,s^{2}-1\, (possíveis zeros);
  • o denominador é \,s^{2}+s-6\, (os polos são as raízes deste polinômio).

Passo 2

Vamos encontrar os polos: são as raízes do denominador \,s^{2}+s-6=0.
Para fatorar, buscamos dois números que multiplicam -6 e somam 1. Esses números são 3 e -2. Assim:
s^{2}+s-6=(s+3)(s-2).
Portanto, os polos são as soluções de (s+3)(s-2)=0, ou seja:
s=-3\quad\text{e}\quad s=2.

Passo 3

Vamos também identificar os zeros (útil para o esboço): são as raízes do numerador \,s^{2}-1=0.
Essa expressão fatoriza como:
s^{2}-1=(s-1)(s+1),
logo os zeros são
s=-1\quad\text{e}\quad s=1.

Passo 4

Esboço da localização no plano complexo (descrição):
  • marcar um “×” (polo) em \,s=-3 (no eixo real, à esquerda da origem);
  • marcar um “×” (polo) em \,s=2 (no eixo real, à direita da origem);
  • marcar um “o” (zero) em \,s=-1;
  • marcar um “o” (zero) em \,s=1.
Observação importante: não há cancelamento polo-zero, porque os polos estão em \,s=-3 e \,s=2 enquanto os zeros estão em \,s=-1 e \,s=1. Então os polos permanecem e determinam a estabilidade.

Passo 5

Vou explicar a condição de estabilidade assintótica de forma didática e concreta:
  • Para um sistema linear tempo-invariante causal contínuo, a resposta livre (modo natural) é combinação de termos do tipo \mathrm{e}^{st}, onde s são os polos.
  • Um modo \mathrm{e}^{st} tende a zero quando t\to\infty se e somente se a parte real de s for negativa, isto é \text{Re}(s)<0.
  • Portanto, o sistema é assintoticamente estável se e somente se todos os polos tiverem \text{Re}(s)<0 (todos estritamente no semiplano esquerdo).

Passo 6

Aplicando a condição aos polos que encontramos:
  • para o polo \,s=-3 temos \text{Re}(-3)=-3<0: esse modo decai exponencialmente como \mathrm{e}^{-3t};
  • para o polo \,s=2 temos \text{Re}(2)=2>0: esse modo cresce exponencialmente como \mathrm{e}^{2t}.
Como existe um polo com parte real positiva ( \,s=2), o termo associado cresce sem limite e domina a resposta quando t\to\infty. Logo o sistema NÃO é assintoticamente estável (é instável).

Passo 7

Resumo físico/intuitivo (para você guardar na prova):
  • polos no semiplano esquerdo \Rightarrow cada modo decai \Rightarrow sistema estável;
  • qualquer polo com parte real positiva \Rightarrow existe modo que cresce \Rightarrow sistema instável;
  • polos exatamente no eixo imaginário sem multiplicidade \Rightarrow modos permanentes (marginalmente estável), e com multiplicidade \Rightarrow instável.
No nosso caso, a presença do polo em \,s=2 garante instabilidade.

Resposta

Polos: \,s=-3 e \,s=2
Estabilidade assintótica: o sistema é instável (não assintoticamente estável).

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