As funções trigonométricas hiperbólicas - seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente hiperbólica e cotangente hiperbólica - denotadas, respectivamente, por senh, cosh, tgh e cotgh, são definidas pelas expressões:
\operatorname{senh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{tgh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{x}}, \quad \operatorname{cotgh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{x}}
Com base nessas definições, mostre que:
\frac{d}{d x}(\operatorname{cotgh} x)=-(\operatorname{senh} x)^{-2}

Passo 1

O enunciado dá as definições
\operatorname{senh} x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{cosh} x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{cotgh} x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}
e pede \frac{d}{dx}(\operatorname{cotgh} x). Vamos usar que \operatorname{cotgh} x = \frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{senh} x}, a regra do quociente e a identidade hiperbolica
\operatorname{cosh}^2 x - \operatorname{senh}^2 x = 1.

Passo 2

Escrevemos
\operatorname{cotgh} x = \frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{senh} x}
de modo a aplicar a regra do quociente com u(x)=\operatorname{cosh} x e v(x)=\operatorname{senh} x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) = \frac{u' v - u\,v'}{v^2}.
Aqui u'(x)=\frac{d}{dx}(\operatorname{cosh} x)=\operatorname{senh} x e v'(x)=\frac{d}{dx}(\operatorname{senh} x)=\operatorname{cosh} x.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente, obtemos
\frac{d}{dx}(\operatorname{cotgh} x) = \frac{\operatorname{senh} x\cdot \operatorname{senh} x \;-\;\operatorname{cosh} x\cdot \operatorname{cosh} x} {(\operatorname{senh} x)^2} = \frac{\operatorname{senh}^2 x - \operatorname{cosh}^2 x}{(\operatorname{senh} x)^2}.

Passo 5

Usando a identidade \operatorname{cosh}^2 x - \operatorname{senh}^2 x =1, temos
\operatorname{senh}^2 x - \operatorname{cosh}^2 x = -1,
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\frac{d}{dx}(\operatorname{cotgh} x) = \frac{-1}{(\operatorname{senh} x)^2} = -(\operatorname{senh} x)^{-2}.

Resposta

\frac{d}{dx}(\operatorname{cotgh} x) = -(\operatorname{senh} x)^{-2}.

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