As funções y=2 x+4, y=3 x-p e y=m x+2, cujas variáveis são x e y, e m e p são parâmetros reais, representam, respectivamente, retas r, s e t do plano cartesiano. Determine:
m de modo que para p=2 as retas r, s e t tenham um ponto em comum.

Passo 1

O enunciado dá três retas por suas equações na forma y = ax + b:
  • r:\; y = 2x + 4
  • s:\; y = 3x - p
  • t:\; y = m x + 2
Foi fixado p = 2. Então a reta s fica y = 3x - 2.
O que se pede: determinar o valor de m tal que as três retas r, s e t tenham um ponto em comum (isto é, exista um único par (x,y) que satisfaça as três equações simultaneamente).

Passo 2

Ideia prática e escolhida: se as três retas têm um ponto em comum, esse ponto é a interseção de quaisquer duas delas e deve também pertencer à terceira. Então vou:
  1. Determinar a interseção de r e s.
  2. Exigir que esse ponto satisfaça a equação de t e daí encontrar m.
Antes de calcular, lembrete rápido (didático): uma reta na forma y = ax + b tem coeficiente angular (inclinação) a e ordenada na origem b. Para achar a interseção de duas retas em forma y = a_1 x + b_1 e y = a_2 x + b_2 basta igualar as expressões de y e resolver para x.

Passo 3

Calcular a interseção de r e s. Igualando as duas expressões de y:
2x+4 = 3x-2.
Resolvendo passo a passo:
2x+4 = 3x-2 \quad\Rightarrow\quad 4 = x-2 \quad\Rightarrow\quad x = 6.
Agora obtemos y substituindo em qualquer uma das duas retas; uso r:
y = 2\cdot 6 + 4 = 12 + 4 = 16.
Logo o ponto de interseção de r e s é (6,16). (Verificação rápida com s: 3\cdot6-2=18-2=16, consistente.)

Passo 4

Exigir que a reta t passe por (6,16). Substituindo x=6 e y=16 em t:\; y = m x + 2:
16 = m\cdot 6 + 2.
Resolvendo para m:
16 - 2 = 6m \quad\Rightarrow\quad 14 = 6m \quad\Rightarrow\quad m = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}.
Verificação final rápida: para m=\dfrac{7}{3}, t em x=6 y = \dfrac{7}{3}\cdot6 + 2 = 14 + 2 = 16, confirma que (6,16) pertence a t.

Resposta

m=\dfrac{7}{3}

Exercícios relacionados