As funções
e
, cujas variáveis são
e
, e
e
são parâmetros reais, representam, respectivamente, retas
, s e
do plano cartesiano. Determine:
de modo que para
as retas
, s e
tenham um ponto em comum.
Passo 1
O enunciado dá três retas por suas equações na forma
:
Foi fixado
. Então a reta
fica
.
O que se pede: determinar o valor de
tal que as três retas
,
e
tenham um ponto em comum (isto é, exista um único par
que satisfaça as três equações simultaneamente).
Passo 2
Ideia prática e escolhida: se as três retas têm um ponto em comum, esse ponto é a interseção de quaisquer duas delas e deve também pertencer à terceira. Então vou:
- Determinar a interseção de
e . - Exigir que esse ponto satisfaça a equação de
e daí encontrar .
Antes de calcular, lembrete rápido (didático): uma reta na forma
tem coeficiente angular (inclinação)
e ordenada na origem
. Para achar a interseção de duas retas em forma
e
basta igualar as expressões de
e resolver para
.
Passo 3
Calcular a interseção de
e
. Igualando as duas expressões de
:
Resolvendo passo a passo:
Agora obtemos
substituindo em qualquer uma das duas retas; uso
:
Logo o ponto de interseção de
e
é
. (Verificação rápida com
:
, consistente.)
Passo 4
Exigir que a reta
passe por
. Substituindo
e
em
:
Resolvendo para
:
Verificação final rápida: para
,
em
dá
, confirma que
pertence a
.