(Ufac) O sistema linear \left\{\begin{aligned} 2 x+3 y & =1 \\\ p x+y & =q, \text { nas variáveis } x \\\ x-6 y & =8\end{aligned}\right. e y, em que p e q são parâmetros reais, é impossível se:
a. p=\frac{q+1}{2}
b. p \neq q+3
c. p=q
d. q \neq 5 p-2
e. q \neq 2 p-1
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear em x\) e \(y\), com parâmetros reais \(p\) e \(q\):
\[\begin{cases} 2x+3y=1,\\[4pt] p x+y=q,\\[4pt] x-6y=8. \end{cases}
A pergunta é: para quais valores de p\] e \(q o sistema é impossível (isto é, não tem solução)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Há três equações lineares e duas incógnitas (x,y); portanto o sistema é sobredeterminado e pode ser impossível, compatível ou indeterminado dependendo da coerência entre as equações.
p e q são parâmetros reais que aparecem apenas na segunda equação.
Para o sistema ser impossível basta que as duas primeiras/terceira equações tenham solução diferente da exigida pela segunda equação (vamos verificar isso).]
Passo 2
Estratégia prática (explicação didática): quando se tem mais equações do que incógnitas, uma maneira simples é resolver duas equações independentes para obter um candidato [(x,y)) e depois verificar se esse par satisfaz a(s) equação(ões) restante(s). Se não satisfizer, o sistema é impossível.
Primeiro identifiquemos duas equações independentes e resolvamo-las. Vou usar a primeira e a terceira:
\begin{cases} 2x+3y=1,\\[4pt] x-6y=8. \end{cases}
Explicando o que significa “independentes”: os coeficientes (2,3)\] e \((1,-6) não são múltiplos um do outro; o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero:
logo essas duas equações têm solução única para (x,y).]
Passo 3
Resolver o par acima passo a passo. Da segunda (terceira do sistema original) isolar x:
x-6y=8 \quad\Rightarrow\quad x=8+6y.
Substituir em 2x+3y=1:
2(8+6y)+3y=1.
Calculemos com calma:
16+12y+3y=1,
15y=1-16=-15,
y=-1.
Agora volte em x=8+6y:
x=8+6(-1)=8-6=2.
Portanto, as duas equações (1ª e 3ª) determinam
(x,y)=(2,-1).
Passo 4
Verificar a segunda equação p x+y=q com o par encontrado. Substituindo x=2 e y=-1:
p\cdot 2 + (-1)=q.
Organizando:
2p-1=q.
Interpretação: se \,q=2p-1 então a segunda equação é satisfeita pelo mesmo (x,y) e o sistema todo é compatível (tem solução). Se \,q\neq 2p-1 então a segunda equação contradiz as outras duas e o sistema é impossível (inconsistente).
Passo 5
Comparando com as alternativas do enunciado: a condição que torna o sistema impossível é exatamente