Junte-se a um colega, e discutam o sistema linear a seguir, nas incógnitas x, y, t e z, em função do parâmetro real a.
\left\{\begin{array}{r} x+2 y-t+z=5 \\ x+y+2 t-z=1 \\ 3 x+4 y+a t-z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear nas incógnitas x,y,t,z, com parâmetro real a:
\left\{\begin{array}{r} x+2y-t+z=5 \\[4pt] x+y+2t-z=1 \\[4pt] 3x+4y+a t-z=1 \end{array}\right.
O que se pede: discutir o sistema em função de a. Ou seja, para cada a determinar se o sistema é impossível, tem solução única ou tem infinitas soluções, e escrever as soluções quando existirem.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há 3 equações e 4 incógnitas ( x,y,t,z).
  • Aparece o parâmetro real a apenas no coeficiente da incógnita t na terceira equação.
  • Devemos analisar todas as possibilidades dependendo do valor de a.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares entre linhas). Justificativa curta: é um método direto e eficiente para ver se há contradição e para expressar incógnitas em função de variáveis livres quando o sistema tem menos equações que incógnitas.
Escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 3 & 4 & a & -1 & 1 \end{array}\right].
Vou eliminar a incógnita x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Retoques de linha:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculo elemento a elemento:
Para R_2 - R_1:
  • primeira coluna: 1-1=0;
  • segunda coluna: 1-2=-1;
  • terceira coluna: 2-(-1)=3;
  • quarta coluna: -1-1=-2;
  • termo independente: 1-5=-4.
Para R_3 - 3R_1:
  • primeira coluna: 3-3=0;
  • segunda coluna: 4-3\cdot 2=4-6=-2;
  • terceira coluna: a-3\cdot(-1)=a+3;
  • quarta coluna: -1-3\cdot 1=-4;
  • termo independente: 1-3\cdot 5=1-15=-14.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & -1 & 3 & -2 & -4\\[4pt] 0 & -2 & a+3 & -4 & -14 \end{array}\right].]

Passo 3

Agora elimino a segunda coluna da terceira linha usando a segunda linha:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Calculo:
  • segunda coluna: -2 - 2(-1)= -2 +2=0 (boa eliminação);
  • terceira coluna: (a+3) - 2\cdot 3 = a+3-6 = a-3;
  • quarta coluna: -4 - 2(-2)= -4 +4 = 0;
  • termo independente: -14 - 2(-4)= -14 +8 = -6.
A matriz escalonada é então
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & -1 & 3 & -2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & a-3 & 0 & -6 \end{array}\right].
A última linha corresponde à equação
(a-3)\,t = -6.]

Passo 4

Análise por casos com base na equação (a-3)t=-6.
Caso A: a=3.
Se a=3, a equação da terceira linha fica 0\cdot t = -6, ou seja
0 = -6,
que é uma contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente para a=3 — não existem valores x,y,t,z que satisfaçam simultaneamente todas as equações.
Interpretação por posto (rank): quando a=3, as duas primeiras linhas são independentes (rank da matriz de coeficientes é 2), mas a matriz aumentada tem uma linha zero nos coeficientes com termo independente -6 (logo o rank da aumentada é 3), portanto rank da matriz de coeficientes \neq rank da aumentada e o sistema é impossível.
Caso B: a\neq 3.
Se a\neq 3, da terceira linha obtemos
t = -\dfrac{6}{a-3}.
Então t fica determinado. Como temos 4 incógnitas e (efetivamente) 3 equações independentes, haverá uma família de soluções com um grau de liberdade (uma variável livre). Vou tomar z como parâmetro livre e chamá-lo de s\in\mathbb{R}:
z = s.
Agora volto à segunda linha (que era 0\cdot x -1\cdot y +3t -2z = -4). Isolando y:
- y + 3t -2z = -4 \quad\Longrightarrow\quad y = 3t -2z +4.
Substituo t e z=s:
y = 3\!\left(-\dfrac{6}{a-3}\right) -2s +4 = -\dfrac{18}{a-3} -2s +4.
Agora volto à primeira equação (original) para obter x:
x + 2y - t + z = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 5 -2y + t - z.
Substituo y, t e z:
x = 5 -2\!\left(-\dfrac{18}{a-3} -2s +4\right) + \left(-\dfrac{6}{a-3}\right) - s.
Faço as operações passo a passo:
-2y = -2\left(-\dfrac{18}{a-3}\right) -2(-2s) -2\cdot 4 = \dfrac{36}{a-3} +4s -8.
Somando tudo:
x = 5 + \dfrac{36}{a-3} +4s -8 -\dfrac{6}{a-3} - s = (5-8) + \left(\dfrac{36-6}{a-3}\right) + (4s - s).
Portanto
x = -3 + \dfrac{30}{a-3} + 3s.
Resumo para a\neq 3: com s\in\mathbb{R} (parâmetro livre, escolhendo z=s),
t = -\dfrac{6}{a-3},\qquad y = 4 - \dfrac{18}{a-3} - 2s,\qquad x = -3 + \dfrac{30}{a-3} + 3s,\qquad z = s.
Comentário sobre dimensão da solução: o posto da matriz de coeficientes quando a\neq3 é 3, logo o espaço de soluções tem dimensão 4-3=1 (uma família afim unidimensional), exatamente o que vimos (parametrizada por s).

Resposta

Para a=3: o sistema é impossível (não tem solução).
Para a\neq 3: há infinitas soluções (família com um parâmetro). Tomando z=s\in\mathbb{R},
x = -3 + \dfrac{30}{a-3} + 3s,\qquad y = 4 - \dfrac{18}{a-3} - 2s,\qquad t = -\dfrac{6}{a-3},\qquad z = s.

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