O que se pede: discutir o sistema em função de a. Ou seja, para cada a determinar se o sistema é impossível, tem solução única ou tem infinitas soluções, e escrever as soluções quando existirem.
Informações relevantes fornecidas:
Há 3 equações e 4 incógnitas (x,y,t,z).
Aparece o parâmetro real a apenas no coeficiente da incógnita t na terceira equação.
Devemos analisar todas as possibilidades dependendo do valor de a.]
Passo 2
Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares entre linhas). Justificativa curta: é um método direto e eficiente para ver se há contradição e para expressar incógnitas em função de variáveis livres quando o sistema tem menos equações que incógnitas.
Escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
Se a=3, a equação da terceira linha fica 0\cdot t = -6, ou seja
0 = -6,
que é uma contradição. Isso significa que o sistema é inconsistente para a=3 — não existem valores x,y,t,z que satisfaçam simultaneamente todas as equações.
Interpretação por posto (rank): quando a=3, as duas primeiras linhas são independentes (rank da matriz de coeficientes é 2), mas a matriz aumentada tem uma linha zero nos coeficientes com termo independente -6 (logo o rank da aumentada é 3), portanto rank da matriz de coeficientes \neq rank da aumentada e o sistema é impossível.
Caso B: a\neq 3.
Se a\neq 3, da terceira linha obtemos
t = -\dfrac{6}{a-3}.
Então t fica determinado. Como temos 4 incógnitas e (efetivamente) 3 equações independentes, haverá uma família de soluções com um grau de liberdade (uma variável livre). Vou tomar z como parâmetro livre e chamá-lo de s\in\mathbb{R}:
z = s.
Agora volto à segunda linha (que era 0\cdot x -1\cdot y +3t -2z = -4). Isolando y:
- y + 3t -2z = -4 \quad\Longrightarrow\quad y = 3t -2z +4.
Substituo t e z=s:
y = 3\!\left(-\dfrac{6}{a-3}\right) -2s +4 = -\dfrac{18}{a-3} -2s +4.
Agora volto à primeira equação (original) para obter x:
x + 2y - t + z = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 5 -2y + t - z.
Substituo y, t e z:
x = 5 -2\!\left(-\dfrac{18}{a-3} -2s +4\right) + \left(-\dfrac{6}{a-3}\right) - s.
x = 5 + \dfrac{36}{a-3} +4s -8 -\dfrac{6}{a-3} - s = (5-8) + \left(\dfrac{36-6}{a-3}\right) + (4s - s).
Portanto
x = -3 + \dfrac{30}{a-3} + 3s.
Resumo para a\neq 3: com s\in\mathbb{R} (parâmetro livre, escolhendo z=s),
t = -\dfrac{6}{a-3},\qquad y = 4 - \dfrac{18}{a-3} - 2s,\qquad x = -3 + \dfrac{30}{a-3} + 3s,\qquad z = s.
Comentário sobre dimensão da solução: o posto da matriz de coeficientes quando a\neq3 é 3, logo o espaço de soluções tem dimensão 4-3=1 (uma família afim unidimensional), exatamente o que vimos (parametrizada por s).
Resposta
Para a=3: o sistema é impossível (não tem solução).
Para a\neq 3: há infinitas soluções (família com um parâmetro). Tomando z=s\in\mathbb{R},
x = -3 + \dfrac{30}{a-3} + 3s,\qquad y = 4 - \dfrac{18}{a-3} - 2s,\qquad t = -\dfrac{6}{a-3},\qquad z = s.