No fundo de uma camada de água de espessura uniforme h e de grande extensão existe uma pequena mancha de dimensões desprezíveis. Um disco opaco de raio r é colocado sobre a água, de tal forma que o seu centro esteja situado na vertical que passa pela mancha. Para que o disco impeça a visão da mancha, de qualquer ponto fora da água, qual deve ser o seu raio mínimo? Dado: índice de refração da água n=4/3
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma camada de água com espessura uniforme $ h $ e um ponto minúsculo no fundo. Queremos descobrir qual o raio mínimo $ r $ de um disco opaco que, quando colocado sobre a água, impede que a gente veja esse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Óptica Geométrica, especificamente Lei de Snell que relaciona os ângulos de incidência e refração quando a luz passa de um meio para outro.
Passo 2
Primeiro, imagine que a luz sai do ponto no fundo da água e chega até nossos olhos passando pela superfície da água. O que determina se conseguimos ver o ponto é o ângulo com o qual a luz sai da água. Se colocarmos um disco, ele bloqueia esses raios de luz que passariam pelo ponto.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei de Snell, que diz:
Aqui, $ n = \frac{4}{3} $ é o índice de refração da água, $ \theta_{água} $ é o ângulo dentro da água, e $ \theta_{ar} $ é o ângulo no ar.
Passo 4
Para impedir a visão do ponto, precisamos considerar o ângulo máximo $ \theta_{á} $ no ar que ainda permite ver o ponto. Esse ângulo ocorre quando $ \theta_{ar} = 90^\circ $ (raios de luz que saem tangencialmente). Então:
Portanto, $ \theta_{água} = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $.
Passo 5
Agora, relacionamos esse ângulo com o raio $ r $ do disco e a espessura $ h $ da água. Usando trigonometria no triângulo formado pela altura $ h $, o raio $ r $ e o ângulo $ \theta_{água} $:
Então:
Passo 6
Vamos calcular $ \tan(\theta_{água}) $. Sabemos que:
Já temos $ \sin(\theta_{água}) = \frac{3}{4} $, então:
Portanto:
Passo 7
Substituindo de volta na equação do raio:
Para racionalizar o denominador:
Resposta
O raio mínimo do disco necessário para impedir a visão da mancha é: