No fundo de uma camada de água de espessura uniforme h e de grande extensão existe uma pequena mancha de dimensões desprezíveis. Um disco opaco de raio r é colocado sobre a água, de tal forma que o seu centro esteja situado na vertical que passa pela mancha. Para que o disco impeça a visão da mancha, de qualquer ponto fora da água, qual deve ser o seu raio mínimo? Dado: índice de refração da água n=4/3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma camada de água com espessura uniforme $ h $ e um ponto minúsculo no fundo. Queremos descobrir qual o raio mínimo $ r $ de um disco opaco que, quando colocado sobre a água, impede que a gente veja esse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Óptica Geométrica, especificamente Lei de Snell que relaciona os ângulos de incidência e refração quando a luz passa de um meio para outro.

Passo 2

Primeiro, imagine que a luz sai do ponto no fundo da água e chega até nossos olhos passando pela superfície da água. O que determina se conseguimos ver o ponto é o ângulo com o qual a luz sai da água. Se colocarmos um disco, ele bloqueia esses raios de luz que passariam pelo ponto.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Snell, que diz:
n cdot sin(thetaágua) = sin(thetaar) á
Aqui, $ n = \frac{4}{3} $ é o índice de refração da água, $ \theta_{água} $ é o ângulo dentro da água, e $ \theta_{ar} $ é o ângulo no ar.

Passo 4

Para impedir a visão do ponto, precisamos considerar o ângulo máximo $ \theta_{á} $ no ar que ainda permite ver o ponto. Esse ângulo ocorre quando $ \theta_{ar} = 90^\circ $ (raios de luz que saem tangencialmente). Então:
thetaá á
Portanto, $ \theta_{água} = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $.

Passo 5

Agora, relacionamos esse ângulo com o raio $ r $ do disco e a espessura $ h $ da água. Usando trigonometria no triângulo formado pela altura $ h $, o raio $ r $ e o ângulo $ \theta_{água} $:
r á
Então:
h á

Passo 6

Vamos calcular $ \tan(\theta_{água}) $. Sabemos que:
tan(thetaágua)
Já temos $ \sin(\theta_{água}) = \frac{3}{4} $, então:
tan(theta) = sin(theta)cos(theta) á
Portanto:
sin(thetaágua) = 34 á

Passo 7

Substituindo de volta na equação do raio:
r = h cdot 3raiz7 = 3hraiz7
Para racionalizar o denominador:
r = 3hraiz7 cdot raiz7raiz7 = 3hraiz77

Resposta

O raio mínimo do disco necessário para impedir a visão da mancha é:
r = 3hraiz77

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