Três vetores coplanares A, B e C de módulos iguais a x e com origens coincidentes num ponto 0, calcule o módulo do vetor resultante da soma A + B + C nos dois casos esquematizados a seguir. Dados: cos 120° = -1/2
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre vetores coplanares. Temos três vetores, A, B e C, todos com o mesmo tamanho (módulo) igual a e com origem no mesmo ponto. Precisamos encontrar o módulo do vetor resultante da soma em duas situações diferentes. Para resolver, vamos usar conceitos de adição de vetores e trigonometria, especialmente o cálculo de componentes e a lei dos cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como somar vetores. Quando somamos vetores que estão no mesmo plano (coplanares), podemos decompor cada vetor em suas componentes horizontal e vertical usando as funções seno e cosseno. Depois, somamos todas as componentes horizontais e todas as componentes verticais separadamente. Por fim, usamos o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor resultante.
Passo 3
Vamos considerar a primeira situação: os três vetores estão igualmente inclinados, formando ângulos de 120° entre eles. Isso significa que cada par de vetores faz um ângulo de 120°.
Para cada vetor, escolhemos um referencial. Por exemplo, podemos alinhar o vetor A ao longo do eixo x. Assim, suas componentes são:
O vetor B faz um ângulo de 120° com A. Suas componentes são:
O vetor C também faz um ângulo de 120° com B, o que significa que ele está a 240° em relação ao eixo x. Suas componentes são:
Passo 4
Agora, somamos as componentes horizontais e verticais:
Como as componentes resultantes são zero, o vetor resultante é o vetor nulo com módulo 0.
Passo 5
Para a segunda situação, vamos supor que dois vetores formam um ângulo de 120° entre si e o terceiro vetor está alinhado de forma diferente. Por exemplo, digamos que vetores A e B formam 120°, e vetor C está alinhado com A.
As componentes seriam:
Somando as componentes:
Agora, usamos o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor resultante:
Resposta
Nas duas situações, o módulo do vetor resultante A + B + C é: