Três vetores coplanares A, B e C de módulos iguais a x e com origens coincidentes num ponto 0, calcule o módulo do vetor resultante da soma A + B + C nos dois casos esquematizados a seguir. Dados: cos 120° = -1/2

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre vetores coplanares. Temos três vetores, A, B e C, todos com o mesmo tamanho (módulo) igual a x e com origem no mesmo ponto. Precisamos encontrar o módulo do vetor resultante da soma A + B + C em duas situações diferentes. Para resolver, vamos usar conceitos de adição de vetores e trigonometria, especialmente o cálculo de componentes e a lei dos cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como somar vetores. Quando somamos vetores que estão no mesmo plano (coplanares), podemos decompor cada vetor em suas componentes horizontal e vertical usando as funções seno e cosseno. Depois, somamos todas as componentes horizontais e todas as componentes verticais separadamente. Por fim, usamos o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor resultante.

Passo 3

Vamos considerar a primeira situação: os três vetores estão igualmente inclinados, formando ângulos de 120° entre eles. Isso significa que cada par de vetores faz um ângulo de 120°.
Para cada vetor, escolhemos um referencial. Por exemplo, podemos alinhar o vetor A ao longo do eixo x. Assim, suas componentes são:
Ax = x cdot cos(0°) = x
Ay = x cdot sin(0°) = 0
O vetor B faz um ângulo de 120° com A. Suas componentes são:
Bx = x cdot cos(120°) = x cdot (-12) = -x2
By = x cdot sin(120°) = x cdot raiz32 = xraiz32
O vetor C também faz um ângulo de 120° com B, o que significa que ele está a 240° em relação ao eixo x. Suas componentes são:
Cx = x cdot cos(240°) = x cdot (-12) = -x2
Cy = x cdot sin(240°) = x cdot (-raiz32) = -xraiz32

Passo 4

Agora, somamos as componentes horizontais e verticais:
Rx = Ax + Bx + Cx = x - x2 - x2 = 0
Ry = Ay + By + Cy = 0 + xraiz32 - xraiz32 = 0
Como as componentes resultantes são zero, o vetor resultante é o vetor nulo com módulo 0.

Passo 5

Para a segunda situação, vamos supor que dois vetores formam um ângulo de 120° entre si e o terceiro vetor está alinhado de forma diferente. Por exemplo, digamos que vetores A e B formam 120°, e vetor C está alinhado com A.
As componentes seriam:
Ax = x
Ay = 0
Bx = -x2
By = xraiz32
Cx = x
Cy = 0
Somando as componentes:
Rx = x - x2 + x = 3x2
Ry = 0 + xraiz32 + 0 = xraiz32
Agora, usamos o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor resultante:
|R| = raiz(3x2)^2 + (xraiz32)^2 = raiz9x^24 + 3x^24 = raiz12x^24 = raiz3x^2 = xraiz3

Resposta

Nas duas situações, o módulo do vetor resultante A + B + C é:
  1. Primeira situação: 0
  2. Segunda situação: xraiz3

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