Uma boia cilíndrica, na entrada de um porto, tem o diâmetro de
e a altura de
. A sua massa é de 600 kg . A boia fica ancorada no fundo do mar por um cabo de náilon de massa desprezível. A densidade da água do mar é de
. Nestas condições, determine:
a) Quando o cabo de ancoragem da boia estiver frouxo, que parte da boia é visível sobre a água?
b) Se a maré provocar a imersão completa da boia, qual será a força de tração no cabo esticado?
a) Quando o cabo de ancoragem da boia estiver frouxo, que parte da boia é visível sobre a água?
b) Se a maré provocar a imersão completa da boia, qual será a força de tração no cabo esticado?
Passo 1
O enunciado dá uma boia cilíndrica e pede duas coisas:
- Quando o cabo de ancoragem estiver frouxo (ou seja, a boia está em equilíbrio flutuando livremente), que parte da boia é visível sobre a água?
- Se a maré fizer a boia ficar completamente submersa, qual será a força de tração no cabo esticado?
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
- diâmetro da boia:
, - altura (comprimento) da boia:
, - massa da boia:
, - cabo de náilon com massa desprezível,
- densidade da água do mar:
.
Observação: a densidade está em
; mais adiante vou converter para
, que é a unidade mais prática para cálculos com metros e quilogramas.
Passo 2
Conceitos e fórmulas necessárias (aula rápida e prática):
- Princípio de Arquimedes: o empuxo (força devida ao fluido que empurra para cima) que age em um objeto imerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em fórmula:
onde
é a densidade do fluido (
),
é a aceleração da gravidade (
) e
é o volume do fluido deslocado (
).
- Equilíbrio vertical para a boia flutuando livremente: empuxo igual ao peso da boia,
Cancelando
dos dois lados:
- Volume de um cilindro (a boia é cilíndrica): área da base vezes altura,
onde
é o raio e
a altura total do cilindro.
- Se a boia ficar totalmente submersa e presa pelo cabo, a força de tração no cabo (em módulo) será igual à diferença entre o empuxo total e o peso da boia, porque o empuxo tende a subir a boia e o cabo precisa puxar para baixo para equilibrar:
Agora vamos converter unidades e calcular os parâmetros geométricos da boia.
Passo 3
Converter a densidade da água do mar para
:
-
.
Vou usarquando necessário.
Raio da base da boia:
Área da base (círculo):
Calculo numérico:
Volume total da boia (cilíndrico):
(Arredondei as etapas, o valor exato com
é
.)
Passo 4
Parte (a) — boia com cabo frouxo (flutuação em equilíbrio).
Usamos a igualdade entre empuxo e peso:
Usamos a igualdade entre empuxo e peso:
Calcule:
Agora a altura submersa
é o volume submerso dividido pela área da base:
Altura visível sobre a água (parte que sobrou acima da superfície) é a diferença entre a altura total e a altura submersa:
Também posso expressar a fração visível:
logo fração visível
.
Passo 5
Parte (b) — boia totalmente submersa e cabo esticado.
Quando a boia está completamente submersa, o empuxo total é
Quando a boia está completamente submersa, o empuxo total é
Peso da boia é
Se a boia está submersa mas em equilíbrio (cabo esticado evitando que ela suba), o cabo suporta a diferença, então a tração no cabo (módulo) vale
Observação: como
(caso contrário a boia não tenderia a subir),
será positivo e aponta para baixo na boia (o cabo puxa-a para baixo).
Passo 6
Cálculo numérico da tração:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
(esse é o “peso” de fluido deslocado em massa equivalente)
Agora o empuxo total:
Peso da boia:
Tração no cabo:
(Nota: pequenas diferenças de arredondamento nas etapas anteriores dão uma tração na faixa de
.)
Passo 7
Checagem rápida e interpretação:
- A boia desloca massa de água menor que o volume total quando flutua parcialmente, por isso só cerca de
do volume fica submerso e fica acima: isso deu . - Quando for totalmente submersa, o empuxo é maior que o peso; o excesso de empuxo é o que o cabo precisa contrabalançar, por isso a tração é elevada (~
), o que equivale a uma força de cerca de tonelada-força (intuitivamente: bastante).
Resposta
a) Altura visível sobre a água:
(aprox).
b) Força de tração no cabo quando totalmente submersa: (aprox).
b) Força de tração no cabo quando totalmente submersa: