Uma boia cilíndrica, na entrada de um porto, tem o diâmetro de 0,9 \mathrm{~m} e a altura de 2,6 \mathrm{~m}. A sua massa é de 600 kg . A boia fica ancorada no fundo do mar por um cabo de náilon de massa desprezível. A densidade da água do mar é de 1,025 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Nestas condições, determine:
a) Quando o cabo de ancoragem da boia estiver frouxo, que parte da boia é visível sobre a água?
b) Se a maré provocar a imersão completa da boia, qual será a força de tração no cabo esticado?

Passo 1

O enunciado dá uma boia cilíndrica e pede duas coisas:
  1. Quando o cabo de ancoragem estiver frouxo (ou seja, a boia está em equilíbrio flutuando livremente), que parte da boia é visível sobre a água?
  2. Se a maré fizer a boia ficar completamente submersa, qual será a força de tração no cabo esticado?
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
  • diâmetro da boia: 0,9\\ \mathrm{m},
  • altura (comprimento) da boia: 2,6\\ \mathrm{m},
  • massa da boia: 600\\ \mathrm{kg},
  • cabo de náilon com massa desprezível,
  • densidade da água do mar: 1,025\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
Observação: a densidade está em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3; mais adiante vou converter para \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, que é a unidade mais prática para cálculos com metros e quilogramas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (aula rápida e prática):
  • Princípio de Arquimedes: o empuxo (força devida ao fluido que empurra para cima) que age em um objeto imerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em fórmula:
E = \rho_{\text{água}} \, g \, V_{\text{deslocado}},á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade do fluido ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3), g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m}/\mathrm{s}^2) e V_{\text{deslocado}} é o volume do fluido deslocado ( \mathrm{m}^3).
  • Equilíbrio vertical para a boia flutuando livremente: empuxo igual ao peso da boia,
\rho_{\text{água}} \, g \, V_{\text{submerso}} = m \, g.á
Cancelando g dos dois lados:
V_{\text{submerso}} = \frac{m}{\rho_{\text{água}}}.á
  • Volume de um cilindro (a boia é cilíndrica): área da base vezes altura,
V_{\text{cil}} = A_{\text{base}} \cdot H = \pi r^2 H,
onde r é o raio e H a altura total do cilindro.
  • Se a boia ficar totalmente submersa e presa pelo cabo, a força de tração no cabo (em módulo) será igual à diferença entre o empuxo total e o peso da boia, porque o empuxo tende a subir a boia e o cabo precisa puxar para baixo para equilibrar:
T = E_{\text{total}} - m g = \rho_{\text{água}} g V_{\text{cil}} - m g.á
Agora vamos converter unidades e calcular os parâmetros geométricos da boia.

Passo 3

Converter a densidade da água do mar para \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3:
  • 1,025\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 = 1{,}025 \times 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = 1025\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    Vou usar g = 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 quando necessário.
Raio da base da boia:
r = \frac{\text{diâmetro}}{2} = \frac{0,9}{2} = 0{,}45\\ \mathrm{m}.â
Área da base (círculo):
A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi (0{,}45)^2 = \pi \cdot 0{,}2025.
Calculo numérico:
A_{\text{base}} \approx 3{,}1416 \times 0{,}2025 \approx 0{,}63662\\ \mathrm{m}^2.
Volume total da boia (cilíndrico):
V_{\text{cil}} = A_{\text{base}} \cdot H = 0{,}63662 \times 2{,}6 \approx 1{,}65499\\ \mathrm{m}^3.
(Arredondei as etapas, o valor exato com \pi é V_{\text{cil}}=\pi\cdot0{,}2025\cdot2{,}6.)

Passo 4

Parte (a) — boia com cabo frouxo (flutuação em equilíbrio).
Usamos a igualdade entre empuxo e peso:
V_{\text{submerso}} = \frac{m}{\rho_{\text{água}}} = \frac{600}{1025}.á
Calcule:
V_{\text{submerso}} \approx 0{,}58537\\ \mathrm{m}^3.
Agora a altura submersa h_{\text{sub}} é o volume submerso dividido pela área da base:
h_{\text{sub}} = \frac{V_{\text{submerso}}}{A_{\text{base}}} = \frac{0{,}58537}{0{,}63662} \approx 0{,}9193\\ \mathrm{m}.
Altura visível sobre a água (parte que sobrou acima da superfície) é a diferença entre a altura total e a altura submersa:
h_{\text{visível}} = H - h_{\text{sub}} = 2{,}6 - 0{,}9193 \approx 1{,}6807\\ \mathrm{m}.í
Também posso expressar a fração visível:
\text{fração submersa} = \frac{V_{\text{submerso}}}{V_{\text{cil}}} \approx \frac{0{,}58537}{1{,}65499} \approx 0{,}3539 \quad(\approx 35{,}4\%),çã
logo fração visível \approx 64{,}6\%.

Passo 5

Parte (b) — boia totalmente submersa e cabo esticado.
Quando a boia está completamente submersa, o empuxo total é
E_{\text{total}} = \rho_{\text{água}}\, g \, V_{\text{cil}}.á
Peso da boia é
P = m g.
Se a boia está submersa mas em equilíbrio (cabo esticado evitando que ela suba), o cabo suporta a diferença, então a tração no cabo (módulo) vale
T = E_{\text{total}} - P = g(\rho_{\text{água}} V_{\text{cil}} - m).á
Observação: como \rho_{\text{água}} V_{\text{cil}}>má (caso contrário a boia não tenderia a subir), T será positivo e aponta para baixo na boia (o cabo puxa-a para baixo).

Passo 6

Cálculo numérico da tração:
Primeiro calcule \rho_{\text{água}} V_{\text{cil}}á:
\rho_{\text{água}} V_{\text{cil}} = 1025 \times 1{,}65499 \approx 1696{,}62\\ \mathrm{kg}.á
(esse é o “peso” de fluido deslocado em massa equivalente)
Agora o empuxo total:
E_{\text{total}} = \rho_{\text{água}} g V_{\text{cil}} \approx 1025 \times 9{,}81 \times 1{,}65499 \approx 1696{,}62 \times 9{,}81 \approx 16644{,}6\\ \mathrm{N}.á
Peso da boia:
P = m g = 600 \times 9{,}81 = 5886\\ \mathrm{N}.
Tração no cabo:
T = E_{\text{total}} - P \approx 16644{,}6 - 5886 \approx 10758{,}6\\ \mathrm{N}.
(Nota: pequenas diferenças de arredondamento nas etapas anteriores dão uma tração na faixa de 1{,}07\times 10^{4}\\ \mathrm{N}.)

Passo 7

Checagem rápida e interpretação:
  • A boia desloca massa de água menor que o volume total quando flutua parcialmente, por isso só cerca de 35{,}4\% do volume fica submerso e 64{,}6\% fica acima: isso deu h_{\text{visível}}\approx 1{,}68\\ \mathrm{m}í.
  • Quando for totalmente submersa, o empuxo é maior que o peso; o excesso de empuxo é o que o cabo precisa contrabalançar, por isso a tração é elevada (~ 1{,}07\times10^4\\ \mathrm{N}), o que equivale a uma força de cerca de 1{,}1 tonelada-força (intuitivamente: bastante).

Resposta

a) Altura visível sobre a água: 1{,}68\\ \mathrm{m} (aprox).
b) Força de tração no cabo quando totalmente submersa: 1{,}08\times10^{4}\\ \mathrm{N} (aprox).

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