(FURRN) A soma S dos números binomiais
S=\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+\binom{6}{3}+\binom{6}{4}+\binom{6}{5}
é tal que:
a) \mathrm{S}=58
b) \mathrm{S}=60
c) S=61
d) \mathrm{S}=63
e) S=64

Passo 1

O enunciado pede a soma
S = \binom{6}{0} + \binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5}
e as alternativas são valores numéricos. O tema é Identidades com coeficientes binomiais, mais precisamente a soma dos binomiais para um dado n.

Passo 2

Lembramos da identidade fundamental da soma dos coeficientes binomiais:
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n.
No nosso caso, n=6, logo
\sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} = 2^6 = 64.

Passo 3

A soma pedida em S vai de k=0 até k=5, ou seja, falta o termo \binom{6}{6}. Sabendo que
\binom{6}{6} = 1,
podemos escrever
S = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} \;-\; \binom{6}{6} = 64 - 1.

Passo 4

Fazendo a subtração, obtemos
S = 64 - 1 = 63.

Resposta

d) \mathrm{S}=63

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