Resolva as equações:
\binom{14}{3 p}=\binom{14}{p+6}

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\binom{14}{3p} \;=\;\binom{14}{p+6}.
O assunto é coeficientes binomiais e vamos usar a propriedade de simetria \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Passo 2

Aplicando a simetria em \binom{14}{p+6}, temos duas possibilidades para igualar o índice a 3p:
  1. 3p = p + 6
  2. 3p = 14 - (p + 6)

Passo 3

Na primeira possibilidade,
3p = p + 6 \quad\Longrightarrow\quad 2p = 6 \quad\Longrightarrow\quad p = 3.

Passo 4

Na segunda possibilidade,
3p = 14 - (p + 6) \quad\Longrightarrow\quad 3p = 8 - p \quad\Longrightarrow\quad 4p = 8 \quad\Longrightarrow\quad p = 2.

Passo 5

Verificamos que para p=2 e p=3 os índices 3p e p+6 ficam entre 0 e 14, logo são válidos. Não há outras soluções inteiras neste intervalo.

Resposta

As soluções são p = 2 e p = 3.

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