Sendo n, p \in \mathbb{N}^{*}, \operatorname{com} p \leq n. Mostre que:
\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}

Passo 1

O enunciado diz que n e p são naturais não nulos, com p \le n, e pede para mostrar a propriedade de simetria do coeficiente binomial.
O conteúdo usado será a definição algébrica de \binom{n}{k} em termos de fatoriais.

Passo 2

Pela definição, o coeficiente binomial de n tomados p a p é
\binom{n}{p} \;=\; \frac{n!}{p!\,(n-p)!}.

Passo 3

Agora escrevemos o coeficiente binomial de n tomados n-p a n-p. Note que n-(n-p)=p. Assim,
\binom{n}{n-p} =\frac{n!}{(n-p)!\,\bigl(n-(n-p)\bigr)!} =\frac{n!}{(n-p)!\,p!}.

Passo 4

Comparando as duas expressões, vemos que os denominadores são iguais (apenas trocados de ordem):
\frac{n!}{p!\,(n-p)!} \quad\text{e}\quad \frac{n!}{(n-p)!\,p!}.
Como a multiplicação é comutativa, concluímos
\binom{n}{p} \;=\; \binom{n}{n-p}.

Resposta

\displaystyle \binom{n}{p} = \binom{n}{\,n-p\,}.

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