(Fuvest 89) Dois pontos materiais A e B deslocam-se com velocidades constantes sobre uma circunferência de raio
partindo de um mesmo ponto O . Se o ponto A se desloca no sentido horário com o triplo da velocidade de B, que se desloca no sentido anti-horário, então o comprimento da corda que liga o ponto de partida ao ponto do primeiro encontro é
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
e) 5 m
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
e) 5 m
Passo 1
O enunciado dá dois pontos A e B que partem do mesmo ponto O sobre uma circunferência de raio
. A se move no sentido horário com velocidade constante
e B no sentido anti-horário com velocidade constante
. Queremos encontrar o comprimento da corda que liga O ao ponto onde A e B se encontram pela primeira vez. Para isso usaremos conceitos de movimento circular uniforme (velocidade angular e relativo) e geometria de corda em círculo.
Passo 2
Do ponto de vista de movimento relativo, A e B têm velocidades lineares em sentidos opostos, logo a velocidade de aproximação mútua vale
Eles se encontram quando a soma dos arcos percorridos for igual à circunferência completa
. Como a velocidade de aproximação ao longo da circunferência é
, o tempo do primeiro encontro satisfaz
Passo 3
Em particular, o ponto B, que anda no sentido anti-horário, percorre no tempo
um arco de comprimento
Esse arco corresponde a um ângulo central
Passo 4
A corda que liga O ao ponto de encontro subtende o ângulo central
. O comprimento
dessa corda é dado por
Substituindo
obtemos
Resposta
4 m