(Fuvest 89) Dois pontos materiais A e B deslocam-se com velocidades constantes sobre uma circunferência de raio \mathrm{r}=\sqrt{ } 8 \mathrm{~m} partindo de um mesmo ponto O . Se o ponto A se desloca no sentido horário com o triplo da velocidade de B, que se desloca no sentido anti-horário, então o comprimento da corda que liga o ponto de partida ao ponto do primeiro encontro é
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
e) 5 m

Passo 1

O enunciado dá dois pontos A e B que partem do mesmo ponto O sobre uma circunferência de raio r = \sqrt{8}\,\text{m}. A se move no sentido horário com velocidade constante v_A = 3v e B no sentido anti-horário com velocidade constante v_B = v. Queremos encontrar o comprimento da corda que liga O ao ponto onde A e B se encontram pela primeira vez. Para isso usaremos conceitos de movimento circular uniforme (velocidade angular e relativo) e geometria de corda em círculo.

Passo 2

Do ponto de vista de movimento relativo, A e B têm velocidades lineares em sentidos opostos, logo a velocidade de aproximação mútua vale
v_{\rm rel} = v_A + v_B = 3v + v = 4v.
Eles se encontram quando a soma dos arcos percorridos for igual à circunferência completa 2\pi r. Como a velocidade de aproximação ao longo da circunferência é 4v, o tempo do primeiro encontro satisfaz
4v\,t = 2\pi r \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2\pi r}{4v} = \frac{\pi r}{2v}.

Passo 3

Em particular, o ponto B, que anda no sentido anti-horário, percorre no tempo t um arco de comprimento
s_B = v_B\,t = v \cdot \frac{\pi r}{2v} = \frac{\pi r}{2}.
Esse arco corresponde a um ângulo central
\varphi = \frac{s_B}{r} = \frac{\pi r/2}{r} = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

A corda que liga O ao ponto de encontro subtende o ângulo central \varphi = \pi/2. O comprimento L dessa corda é dado por
L = 2r\sin\!\bigl(\tfrac{\varphi}{2}\bigr) = 2r\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 2r\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}.
Substituindo r=\sqrt{8} obtemos
L = \sqrt{8}\,\sqrt{2} = \sqrt{16} = 4\,\text{m}.

Resposta

4 m

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