(FUVEST) As funções f e g são dadas por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{3}{5} x-1 e \mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{4}{3} x+a. Sabe-se que \mathrm{f}(0)-\mathrm{g}(0)=\frac{1}{3}.
Determine \mathrm{f}(3)-3 . \mathrm{g}\left(\frac{1}{5}\right).

Passo 1

O enunciado dá duas funções lineares e uma condição entre os valores em 0:
  • \mathrm{f}(\mathrm{x})=\dfrac{3}{5}x-1.
  • \mathrm{g}(\mathrm{x})=\dfrac{4}{3}x+a.
  • Condição: \mathrm{f}(0)-\mathrm{g}(0)=\dfrac{1}{3}.
O que é pedido: determinar o valor de \mathrm{f}(3)-3\cdot \mathrm{g}\!\left(\dfrac{1}{5}\right).

Passo 2

Primeiro vamos usar a condição para encontrar a constante a. Para isso avaliamos as funções em x=0 por substituição direta:
  • \mathrm{f}(0)=\dfrac{3}{5}\cdot 0 -1 = -1.
  • \mathrm{g}(0)=\dfrac{4}{3}\cdot 0 + a = a.
Explicação didática: avaliar uma função em um ponto significa substituir esse valor da variável pela expressão dada; no caso x=0 os termos com x desaparecem.

Passo 3

Agora aplicamos a condição \mathrm{f}(0)-\mathrm{g}(0)=\dfrac{1}{3}. Substituindo os resultados do passo anterior:
-1 - a = \dfrac{1}{3}.
Resolvendo para a:
- a = \dfrac{1}{3} + 1.
Converter 1 em fração com denominador 3:
1 = \dfrac{3}{3}, \qquad \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{3} = \dfrac{4}{3}.
Portanto
- a = \dfrac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad a = -\dfrac{4}{3}.

Passo 4

Agora calculamos \mathrm{f}(3) por substituição:
\mathrm{f}(3)=\dfrac{3}{5}\cdot 3 - 1.
Multiplicando a fração:
\dfrac{3}{5}\cdot 3 = \dfrac{9}{5}.
Subtraindo 1 (escrevendo 1=\dfrac{5}{5}):
\mathrm{f}(3)=\dfrac{9}{5}-\dfrac{5}{5}=\dfrac{4}{5}.

Passo 5

Calculamos \mathrm{g}\!\left(\dfrac{1}{5}\right) usando a=-\dfrac{4}{3}:
\mathrm{g}\!\left(\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right).
Multiplicando as frações:
\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{15}.
Somando as frações com denominador comum 15: escrever -\dfrac{4}{3} = -\dfrac{20}{15}, então
\mathrm{g}\!\left(\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{4}{15}-\dfrac{20}{15}=-\dfrac{16}{15}.

Passo 6

Finalmente calculamos a expressão pedida:
\mathrm{f}(3)-3\cdot \mathrm{g}\!\left(\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{4}{5} - 3\cdot\left(-\dfrac{16}{15}\right).
Calcule o produto:
3\cdot\left(-\dfrac{16}{15}\right) = -\dfrac{48}{15}.
Portanto a expressão vira
\dfrac{4}{5} - \left(-\dfrac{48}{15}\right) = \dfrac{4}{5} + \dfrac{48}{15}.
Colocar em denominador comum 15: \dfrac{4}{5}=\dfrac{12}{15}. Somando:
\dfrac{12}{15} + \dfrac{48}{15} = \dfrac{60}{15} = 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados