(FGV) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal dado por \mathbf{C} \boldsymbol{=} \mathbf{5 0 0 0} \boldsymbol{+} \mathbf{1 5 x}, onde \boldsymbol{\underline { x }} é o número de camisas produzidas e vendidas por mês. Cada camisa é vendida por \mathrm{R} \ 25,00 . Atualmente, o lucro mensal é deé\mathrm{R} $2000,00$. Para dobrar esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender mensalmente:
a) o dobro do que produz e vende.
b) 100 unidades a mais do que produz e vende.
c) 200 unidades a mais do que produz e vende.
d) 300 unidades a mais do que produz e vende.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar o que há de importante):
  • Função custo mensal: C = 5000 + 15x, onde x é o número de camisas produzidas e vendidas por mês.
  • Preço de venda por camisa: 25 (ou seja, cada camisa rende \,25 reais).
  • Lucro mensal atual: 2000 (ou seja, o lucro atual é \,2000 reais).
  • Pergunta: para dobrar esse lucro (ou seja, passar de 2000 para 4000 reais), a fábrica deverá produzir e vender mensalmente qual opção entre:
    a) o dobro do que produz e vende.
    b) 100 unidades a mais do que produz e vende.
    c) 200 unidades a mais do que produz e vende.
    d) 300 unidades a mais do que produz e vende.

Passo 2

Vamos definir a receita e o lucro em função de x e explicar o que cada termo significa.
  • Receita mensal (valor que entra pela venda) quando se vendem x camisas:
R(x)=25x.
Aqui 25 é o preço por camisa e x é a quantidade vendida; logo 25x é o total recebido.
  • Custo mensal já foi dado:
C(x)=5000+15x.
Aqui 5000 é o custo fixo (independe de x) e 15x é o custo variável (custa 15 reais por camisa).
  • Lucro mensal é receita menos custo:
L(x)=R(x)-C(x).

Passo 3

Calcular explicitamente a expressão do lucro em função de x.
L(x)=25x-(5000+15x).
Desenvolvendo:
L(x)=25x-5000-15x=10x-5000.
Interpretação: a cada camisa vendida sobra \,10 reais para cobrir o custo fixo e formar lucro ( 10=25-15). O termo -5000 representa o custo fixo a ser coberto.

Passo 4

Usar a informação do lucro atual para calcular a produção atual x.
O lucro atual é 2000, então:
10x-5000=2000.
Somando 5000 em ambos os lados:
10x=7000.
Dividindo por 10:
x=700.
Ou seja, atualmente a fábrica produz e vende \,700 camisas por mês.

Passo 5

Calcular a nova produção necessária para dobrar o lucro (lucro alvo \,4000).
Colocar L(x')=4000:
10x'-5000=4000.
Somando 5000:
10x'=9000.
Dividindo por 10:
x'=900.
Portanto, para o lucro ser \,4000 é preciso produzir e vender \,900 camisas por mês.

Passo 6

Calcular o aumento de unidades necessário:
x'-x=900-700=200.
Verificação rápida: L(700)=10\cdot700-5000=7000-5000=2000 (confere) e L(900)=10\cdot900-5000=9000-5000=4000 (confere).

Resposta

c) 200 unidades a mais do que produz e vende.

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