(FUVEST-SP/Modificada) Luiz, Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigosecreto (ou amigo-oculto). O nome de cada um é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna. Em seguida, cada participante da brincadeira retira da urna um dos pedaços de papel, ao acaso. De quantas formas pode ocorrer a distribuição dos papéis de modo que nenhum dos participantes retire seu próprio nome?
42. (ENEM-MEC/Modificada): Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0,1 , 2 e 5 . O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirálas, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se um real de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia dois reais de desconto. Determine o número de sequências que podem ser formadas de modo que o consumidor não ganhe nenhum desconto.
42. (ENEM-MEC/Modificada): Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0,1 , 2 e 5 . O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirálas, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se um real de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia dois reais de desconto. Determine o número de sequências que podem ser formadas de modo que o consumidor não ganhe nenhum desconto.
Passo 1
Temos duas situações que são instâncias do mesmo problema de “derangements” (nenhum elemento fica em sua posição original). No primeiro, são
nomes que não podem voltar para seu dono. No segundo, são
cartas (etiquetadas 0,1,2,5) que não podem aparecer na posição certa do número “12,50” (sequência alvo
). Para resolver, vamos usar a fórmula de derangements via Princípio da Inclusão-Exclusão:
Passo 2
Aplicando a fórmula para
, temos
Calculando cada termo:
,
Passo 3
Multiplicando por
:
Logo, existem
formas de distribuir os papéis sem que ninguém tire o próprio nome.
Passo 4
Agora para
, usamos a mesma fórmula:
Aqui
e
Passo 5
Logo
Portanto, há
sequências em que o consumidor não acerta nenhum algarismo na posição correta.
Resposta
Primeiro problema (derangement de 5):
.
Segundo problema (derangement de 4): .
Segundo problema (derangement de 4):