(FUVEST-SP/Modificada) Luiz, Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigosecreto (ou amigo-oculto). O nome de cada um é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna. Em seguida, cada participante da brincadeira retira da urna um dos pedaços de papel, ao acaso. De quantas formas pode ocorrer a distribuição dos papéis de modo que nenhum dos participantes retire seu próprio nome?
42. (ENEM-MEC/Modificada): Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0,1 , 2 e 5 . O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirálas, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se um real de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia dois reais de desconto. Determine o número de sequências que podem ser formadas de modo que o consumidor não ganhe nenhum desconto.

Passo 1

Temos duas situações que são instâncias do mesmo problema de “derangements” (nenhum elemento fica em sua posição original). No primeiro, são n=5 nomes que não podem voltar para seu dono. No segundo, são n=4 cartas (etiquetadas 0,1,2,5) que não podem aparecer na posição certa do número “12,50” (sequência alvo 1,2,5,0). Para resolver, vamos usar a fórmula de derangements via Princípio da Inclusão-Exclusão:
!n = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}.

Passo 2

Aplicando a fórmula para n=5, temos
!5 = 5!\Bigl(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\Bigr).
Calculando cada termo: 5! = 120, \displaystyle 1 - 1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{24} - \tfrac{1}{120} = 0 + 0{,}5 - 0{,}1666667 + 0{,}0416667 - 0{,}0083333 = 0{,}3666667.

Passo 3

Multiplicando por 120:
!5 = 120 \times 0{,}3666667 = 44.
Logo, existem 44 formas de distribuir os papéis sem que ninguém tire o próprio nome.

Passo 4

Agora para n=4, usamos a mesma fórmula:
!4 = 4!\Bigl(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\Bigr).
Aqui 4! = 24 e \displaystyle 1 -1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{24} = 0{,}375.

Passo 5

Logo
!4 = 24 \times 0{,}375 = 9.
Portanto, há 9 sequências em que o consumidor não acerta nenhum algarismo na posição correta.

Resposta

Primeiro problema (derangement de 5): 44.
Segundo problema (derangement de 4): 9.

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