Consideremos os conjuntos \mathrm{A}= \{1,2,3,5,7,9\} \quad e \quad B=\{-2,-1,0,1,2\}. Quantas
funções \mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} existem? Quantas são injetoras? e quantas são sobrejetoras?

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos \mathrm{A}=\{1,2,3,5,7,9\} e \mathrm{B}=\{-2,-1,0,1,2\}.
Logo \lvert A\rvert=6 e \lvert B\rvert=5.
Precisamos contar:
  1. todas as funções f\colon A\to B,
  2. quantas são injetoras,
  3. quantas são sobrejetoras.
    Para isso usamos:
  • Número de funções gerais de um conjunto de tamanho n para um de tamanho m é m^n.
  • Número de injeções de um conjunto de tamanho n num de tamanho m é P(m,n), que vale zero se n>m.
  • Número de sobrejeções de um conjunto de tamanho n para um de tamanho m é
m!\,S(n,m),
onde S(n,m) é o número de Stirling de segunda espécie.

Passo 2

Contagem de todas as funções f\colon A\to B.
Cada um dos 6 elementos de A pode ir para qualquer dos 5 de B.
\text{Total de funções} = 5^6 = 15625.çõ

Passo 3

Contagem das funções injetoras.
Como \lvert A\rvert=6 e \lvert B\rvert=5, não há como atribuir valores distintos em B a cada elemento de A.
\text{Total de injeções} = P(5,6) = 0.çõ

Passo 4

Cálculo de S(6,5).
Para n\ge2 vale
S(n,n-1)=\binom{n}{2}.
Aqui n=6, logo
S(6,5)=\binom{6}{2}=15.

Passo 5

Contagem das funções sobrejetoras.
Aplicando a fórmula
\text{Total de sobrejeções}=5!\,S(6,5)=120\times15 = 1800.çõ

Resposta

(a) 5^6 = 15625
(b) 0
(c) 1800

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