(Fuvest) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Tem-se um número natural
com algarismos. - Ao subtrair
de obtém-se o número formado invertendo a ordem dos algarismos de . - A soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de
é igual a . - A pergunta: qual é o algarismo das centenas de
? (opções: )
Informações relevantes extraídas:
é um número de três algarismos (portanto o algarismo das centenas não é zero), existe uma relação entre
e seu número invertido envolvendo a subtração de
, e há uma soma conhecida entre as centenas e unidades.
Passo 2
Representar o número
em termos dos seus algarismos. Sejam:
-
o algarismo das centenas, -
o algarismo das dezenas, -
o algarismo das unidades.
Como cada posição tem peso decimal, o número
pode ser escrito como
onde
são dígitos com
e
. Aqui expliquei o porquê: o algarismo das centenas vale
centenas, cada centena é
, etc.
Passo 3
Escrever o número obtido invertendo os algarismos (o número reverso). Ao inverter a ordem dos algarismos de
obtemos
Repare que o algarismo das dezenas fica no meio em ambos os números, por isso aparece
em
e em
.
Passo 4
Traduzir em equação a condição do enunciado: subtraindo
de
obtém-se
. Assim
Passo 5
Simplificar a equação. Primeiro cancele os termos iguais em ambos os lados (observe que
aparece dos dois lados):
Agora agrupe termos semelhantes (colocar todos os termos com
de um lado e com
do outro):
ou seja
Passo 6
Fatorar
e dividir para simplificar:
Calcule
. Como
, obtemos
Comentário didático rápido: essa manipulação é simplesmente álgebra linear elementar para isolar a diferença entre os algarismos das centenas e das unidades.
Passo 7
Usar a outra condição dada: a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades é
. Em símbolos,
Passo 8
Resolver o sistema linear formado por
Somando as duas equações cancela
:
Em seguida, para achar
(só para confirmar),
Passo 9
Verificação rápida (para dar segurança): substituindo
e
na diferença entre
e o reverso obtemos
o que confirma a condição do enunciado. Observe que o algarismo das dezenas
cancela na equação, então qualquer
dá um
adequado (desde que
), mas o algarismo das centenas fica determinado como
.
Resposta
c) 6