(Fuvest) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Tem-se um número natural N com 3 algarismos.
  • Ao subtrair 396 de N obtém-se o número formado invertendo a ordem dos algarismos de N.
  • A soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8.
  • A pergunta: qual é o algarismo das centenas de N? (opções: 4,5,6,7,8)
Informações relevantes extraídas: N é um número de três algarismos (portanto o algarismo das centenas não é zero), existe uma relação entre N e seu número invertido envolvendo a subtração de 396, e há uma soma conhecida entre as centenas e unidades.

Passo 2

Representar o número N em termos dos seus algarismos. Sejam:
  • h o algarismo das centenas,
  • t o algarismo das dezenas,
  • u o algarismo das unidades.
Como cada posição tem peso decimal, o número N pode ser escrito como
N = 100h + 10t + u,
onde h,t,u são dígitos com h\in\{1,2,\dots,9\} e t,u\in\{0,1,\dots,9\}. Aqui expliquei o porquê: o algarismo das centenas vale h centenas, cada centena é 100, etc.

Passo 3

Escrever o número obtido invertendo os algarismos (o número reverso). Ao inverter a ordem dos algarismos de N obtemos
R = 100u + 10t + h.
Repare que o algarismo das dezenas fica no meio em ambos os números, por isso aparece 10t em N e em R.

Passo 4

Traduzir em equação a condição do enunciado: subtraindo 396 de N obtém-se R. Assim
100h + 10t + u - 396 = 100u + 10t + h.

Passo 5

Simplificar a equação. Primeiro cancele os termos iguais em ambos os lados (observe que 10t aparece dos dois lados):
100h + 10t + u - 396 = 100u + 10t + h \quad\Longrightarrow\quad 100h + u - 396 = 100u + h.
Agora agrupe termos semelhantes (colocar todos os termos com h de um lado e com u do outro):
100h - h - (100u - u) = 396,
ou seja
99h - 99u = 396.

Passo 6

Fatorar 99 e dividir para simplificar:
99(h-u) = 396 \quad\Longrightarrow\quad h - u = \frac{396}{99}.
Calcule \dfrac{396}{99}. Como 99\cdot 4 = 396, obtemos
h - u = 4.
Comentário didático rápido: essa manipulação é simplesmente álgebra linear elementar para isolar a diferença entre os algarismos das centenas e das unidades.

Passo 7

Usar a outra condição dada: a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades é 8. Em símbolos,
h + u = 8.

Passo 8

Resolver o sistema linear formado por
\begin{cases} h - u = 4,\\[4pt] h + u = 8. \end{cases}
Somando as duas equações cancela u:
2h = 12\quad\Longrightarrow\quad h = 6.
Em seguida, para achar u (só para confirmar),
u = 8 - h = 8 - 6 = 2.]

Passo 9

Verificação rápida (para dar segurança): substituindo h=6 e u=2 na diferença entre N e o reverso obtemos
N - R = 99(h-u) = 99\cdot 4 = 396,
o que confirma a condição do enunciado. Observe que o algarismo das dezenas t cancela na equação, então qualquer t\in\{0,\dots,9\} dá um N adequado (desde que h\neq0), mas o algarismo das centenas fica determinado como 6.

Resposta

c) 6

Exercícios relacionados