- G. Determine o limite superior e o limite inferior das seguintes sequências em
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o limite superior e o limite inferior da sequência real cujos termos são
Informações dadas:
- A sequência é formada multiplicando
(inteiro que cresce) pela função seno avaliada em (ângulo em radianos). - Não há outras restrições;
tende a .
Passo 2
Vamos lembrar, de forma clara e prática, o que significam
e
.
Definições (intuitivas e formais):
- Intuitivamente,
é o maior dos valores de adesão (valores-limite de subsequências) da sequência ; se a sequência cresce sem limite superior, dizemos . - Intuitivamente,
é o menor dos valores de adesão; se a sequência decresce sem limite inferior, dizemos .
Definições formais úteis que vamos usar:
Consequência prática: para provar
basta mostrar que, para todo
, existem índices arbitrariamente grandes
tais que
(na verdade, infinitely many tais
). Analogamente, para
basta mostrar que, para todo
, existem índices arbitrariamente grandes com
.
Passo 3
Intuição-chave para este problema: a parte
oscila entre
e
, e os valores
(com
inteiro) visitam valores arbitrariamente próximos de qualquer número em
. Em particular:
- Existem termos
arbitrariamente grandes com arbitrariamente próximos de . - Existem termos
arbitrariamente grandes com arbitrariamente próximos de .
Por que isso é verdade (explicação didática, sem pular etapas): a sequência dos ângulos
tomada modulo
forma o conjunto
. Como
é irracional, os múltiplos de
(ou, equivalentemente, os números
mod
) são densos no círculo; isso significa que a sequência
é densa no intervalo
. A consequência prática para o seno é: para qualquer ponto
e qualquer
existem índices
arbitrariamente grandes com
para algum inteiro
. Como a função
é contínua, isso implica que os valores
chegam arbitrariamente perto de
. Em particular, tomando
obtemos
arbitrariamente próximos de
; tomando
obtemos
arbitrariamente próximos de
.
Observação prática sobre infinitude: a densidade implica não só que existe algum
numa vizinhança, mas que existem infinitely many tais
. Se houvesse apenas um número finito de
em uma vizinhança, então, depois de um certo ponto, a vizinhança seria vazia para os índices grandes, o que contradiz a densidade.
Passo 4
Transformar a ideia em uso concreto para provar
.
Escolha um número fixo
. Queremos encontrar
arbitrariamente grande com
.
-
Pegue um
conveniente, por exemplo . Como é contínua em , existe tal que, se , então . -
Pela densidade de
em , existem infinitely many inteiros arbitrariamente grandes que satisfazem para algum . Para tais vale . -
Logo existem infinitely many
grandes com
- Agora escolha
desses com . Isso é possível porque há infinitely many e eles podem ser tomados arbitrariamente grandes. Para este temos
Portanto, para qualquer
existem índices arbitrariamente grandes com
. Isso mostra que a sequência não tem nenhum limite superior finito e que de fato os termos ultrapassam qualquer
infinitas vezes. Pelo critério prático citado, concluímos
Passo 5
Provar o lado negativo:
.
O raciocínio é análogo, trocando
por
:
-
Pela continuidade de
em (onde ), para qualquer existe tal que implica . Tome por exemplo , então . -
Pela densidade, existem infinitely many
arbitrariamente grandes com . Para esses temos . -
Para esses
,
- Dado
, escolha suficientemente grande (há infinitely many) tal que . Para esse teremos . Assim, a sequência atinge valores menores que arbitrariamente adiante na sequência, para qualquer .
Consequentemente,
Passo 6
Resumo final do raciocínio (curto e motivador): a oscilação do
dentre valores arbitrariamente próximos de
, combinada com o fator multiplicativo
que cresce indefinidamente, faz com que a sequência atinja valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos. Assim não existe limite superior finito nem limite inferior finito.