1. G. Determine o limite superior e o limite inferior das seguintes sequências em R :
    (b) (n \operatorname{sen} n)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o limite superior e o limite inferior da sequência real cujos termos são
a_n = n\sin n,\quad n=1,2,3,\dots
Informações dadas:
  • A sequência é formada multiplicando n (inteiro que cresce) pela função seno avaliada em n (ângulo em radianos).
  • Não há outras restrições; n tende a +\infty.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma clara e prática, o que significam \limsup e \liminf.
Definições (intuitivas e formais):
  • Intuitivamente, \limsup_{n\to\infty} a_n é o maior dos valores de adesão (valores-limite de subsequências) da sequência a_n; se a sequência cresce sem limite superior, dizemos \limsup = +\infty.
  • Intuitivamente, \liminf_{n\to\infty} a_n é o menor dos valores de adesão; se a sequência decresce sem limite inferior, dizemos \liminf = -\infty.
Definições formais úteis que vamos usar:
\limsup_{n\to\infty} a_n = \inf_{N\ge1} \sup_{n\ge N} a_n, \qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \sup_{N\ge1} \inf_{n\ge N} a_n.
Consequência prática: para provar \limsup a_n = +\infty basta mostrar que, para todo M>0, existem índices arbitrariamente grandes n tais que a_n > M (na verdade, infinitely many tais n). Analogamente, para \liminf a_n = -\infty basta mostrar que, para todo M>0, existem índices arbitrariamente grandes com a_n < -M.

Passo 3

Intuição-chave para este problema: a parte \sin n oscila entre -1 e 1, e os valores \sin n (com n inteiro) visitam valores arbitrariamente próximos de qualquer número em [-1,1]. Em particular:
  • Existem termos n arbitrariamente grandes com \sin n arbitrariamente próximos de 1.
  • Existem termos n arbitrariamente grandes com \sin n arbitrariamente próximos de -1.
Por que isso é verdade (explicação didática, sem pular etapas): a sequência dos ângulos n tomada modulo 2\pi forma o conjunto \{n \bmod 2\pi: n\in\mathbb{N}\}. Como \pi é irracional, os múltiplos de 1 (ou, equivalentemente, os números n/(2\pi) mod 1) são densos no círculo; isso significa que a sequência (n \bmod 2\pi) é densa no intervalo [0,2\pi). A consequência prática para o seno é: para qualquer ponto \theta\in[0,2\pi) e qualquer \delta>0 existem índices n arbitrariamente grandes com |n-\theta-2\pi k|<\delta para algum inteiro k. Como a função \sin x é contínua, isso implica que os valores \sin n chegam arbitrariamente perto de \sin\theta. Em particular, tomando \theta=\tfrac{\pi}{2} obtemos \sin n arbitrariamente próximos de 1; tomando \theta=\tfrac{3\pi}{2} obtemos \sin n arbitrariamente próximos de -1.
Observação prática sobre infinitude: a densidade implica não só que existe algum n numa vizinhança, mas que existem infinitely many tais n. Se houvesse apenas um número finito de n em uma vizinhança, então, depois de um certo ponto, a vizinhança seria vazia para os índices grandes, o que contradiz a densidade.

Passo 4

Transformar a ideia em uso concreto para provar \limsup_{n\to\infty} n\sin n = +\infty.
Escolha um número fixo M>0. Queremos encontrar n arbitrariamente grande com n\sin n > M.
  1. Pegue um \varepsilon conveniente, por exemplo \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Como \sin x é contínua em \tfrac{\pi}{2}, existe \delta>0 tal que, se |x-\tfrac{\pi}{2}|<\delta, então \sin x>1-\varepsilon=\tfrac{1}{2}.
  2. Pela densidade de \{n \bmod 2\pi\} em [0,2\pi), existem infinitely many inteiros n arbitrariamente grandes que satisfazem |n - (\tfrac{\pi}{2}+2\pi k)|<\delta para algum k\in\mathbb{Z}. Para tais n vale \sin n> \tfrac{1}{2}.
  3. Logo existem infinitely many n grandes com
n\sin n \ge n\cdot \tfrac{1}{2}.
  1. Agora escolha n desses com n>2M. Isso é possível porque há infinitely many e eles podem ser tomados arbitrariamente grandes. Para este n temos
n\sin n \ge n\cdot\tfrac{1}{2} > 2M\cdot\tfrac{1}{2}=M.
Portanto, para qualquer M>0 existem índices arbitrariamente grandes com a_n=n\sin n > M. Isso mostra que a sequência não tem nenhum limite superior finito e que de fato os termos ultrapassam qualquer M infinitas vezes. Pelo critério prático citado, concluímos
\limsup_{n\to\infty} n\sin n = +\infty.

Passo 5

Provar o lado negativo: \liminf_{n\to\infty} n\sin n = -\infty.
O raciocínio é análogo, trocando \tfrac{\pi}{2} por \tfrac{3\pi}{2}:
  1. Pela continuidade de \sin em \tfrac{3\pi}{2} (onde \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1), para qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-\tfrac{3\pi}{2}|<\delta implica \sin x < -1+\varepsilon. Tome por exemplo \varepsilon=\tfrac{1}{2}, então \sin x < -\tfrac{1}{2}.
  2. Pela densidade, existem infinitely many n arbitrariamente grandes com |n-(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k)|<\delta. Para esses n temos \sin n < -\tfrac{1}{2}.
  3. Para esses n,
n\sin n \le n\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\tfrac{n}{2}.
  1. Dado M>0, escolha n suficientemente grande (há infinitely many) tal que \tfrac{n}{2}>M. Para esse n teremos n\sin n < -M. Assim, a sequência atinge valores menores que -M arbitrariamente adiante na sequência, para qualquer M.
Consequentemente,
\liminf_{n\to\infty} n\sin n = -\infty.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (curto e motivador): a oscilação do \sin n dentre valores arbitrariamente próximos de \pm1, combinada com o fator multiplicativo n que cresce indefinidamente, faz com que a sequência atinja valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos. Assim não existe limite superior finito nem limite inferior finito.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} n\sin n = +\infty
\displaystyle \liminf_{n\to\infty} n\sin n = -\infty

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