g) \frac{x-2}{x}=\frac{2 x}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{x-2}{x}=\frac{2x}{x-3}
ou seja, encontrar todos os valores de x (números reais) que tornam essa igualdade verdadeira. As informações dadas são apenas os dois racionais à esquerda e à direita da igualdade.

Passo 2

Primeiro precisamos identificar as restrições do domínio: não podemos dividir por zero. Os denominadores são x e x-3, então devemos ter
x \neq 0 \quad\text{e}\quad x \neq 3.
Estas são as únicas restrições: qualquer solução obtida que seja 0 ou 3 deve ser rejeitada.

Passo 3

Para resolver uma equação entre frações com denominadores diferentes, uma técnica simples é multiplicar ambos os lados pelo mínimo múltiplo dos denominadores (o chamado “MMC” ou o denominador comum), desde que esse múltiplo não seja zero — o que aqui equivale a garantir x\neq0 e x\neq3, já verificadas. O denominador comum é x(x-3). Multiplicando ambos os lados por x(x-3) obtemos uma igualdade sem frações:
(x-2)(x-3)=2x\cdot x.
Esse passo é válido porque multiplicar os dois lados de uma igualdade por um mesmo número não nulo preserva a igualdade.

Passo 4

Agora desenvolvemos ambos os lados e simplificamos. Expandindo o lado esquerdo:
(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6.
O lado direito é
2x\cdot x=2x^2.
Igualando os dois resultados:
x^2-5x+6=2x^2.

Passo 5

Colocamos tudo em um só lado para formar uma equação quadrática padrão. Subtraindo x^2-5x+6 de ambos os lados:
0=2x^2-(x^2-5x+6)=x^2+5x-6.
Logo devemos resolver
x^2+5x-6=0.
Podemos resolver factorando: procuramos dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja 5. Esses números são 6 e -1. Assim
x^2+5x-6=(x+6)(x-1).
Portanto as raízes são as soluções dos fatores:
x+6=0 \Rightarrow x=-6,
x-1=0 \Rightarrow x=1.
(Se preferir, poderia usar a fórmula quadrática; o discriminante seria \Delta=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49, \sqrt{\Delta}=7, e então x=(-5\pm7)/2, que dá as mesmas soluções.)

Passo 6

Verificamos se as soluções obtidas respeitam as restrições do domínio x\neq0 e x\neq3. Tanto x=-6 quanto x=1 são permitidos. Vamos checar rapidamente substituindo na equação original.
Para x=1:
\frac{1-2}{1}=\frac{-1}{1}=-1,\qquad \frac{2\cdot1}{1-3}=\frac{2}{-2}=-1,
logo a igualdade vale.
Para x=-6:
\frac{-6-2}{-6}=\frac{-8}{-6}=\frac{4}{3},\qquad \frac{2\cdot(-6)}{-6-3}=\frac{-12}{-9}=\frac{4}{3},
também vale.
Portanto ambas as raízes são soluções válidas da equação.

Resposta

-6
1

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