g)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja, encontrar todos os valores de
(números reais) que tornam essa igualdade verdadeira. As informações dadas são apenas os dois racionais à esquerda e à direita da igualdade.
Passo 2
Primeiro precisamos identificar as restrições do domínio: não podemos dividir por zero. Os denominadores são
e
, então devemos ter
Estas são as únicas restrições: qualquer solução obtida que seja
ou
deve ser rejeitada.
Passo 3
Para resolver uma equação entre frações com denominadores diferentes, uma técnica simples é multiplicar ambos os lados pelo mínimo múltiplo dos denominadores (o chamado “MMC” ou o denominador comum), desde que esse múltiplo não seja zero — o que aqui equivale a garantir
e
, já verificadas. O denominador comum é
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma igualdade sem frações:
Esse passo é válido porque multiplicar os dois lados de uma igualdade por um mesmo número não nulo preserva a igualdade.
Passo 4
Agora desenvolvemos ambos os lados e simplificamos. Expandindo o lado esquerdo:
O lado direito é
Igualando os dois resultados:
Passo 5
Colocamos tudo em um só lado para formar uma equação quadrática padrão. Subtraindo
de ambos os lados:
Logo devemos resolver
Podemos resolver factorando: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Assim
Portanto as raízes são as soluções dos fatores:
(Se preferir, poderia usar a fórmula quadrática; o discriminante seria
,
, e então
, que dá as mesmas soluções.)
Passo 6
Verificamos se as soluções obtidas respeitam as restrições do domínio
e
. Tanto
quanto
são permitidos. Vamos checar rapidamente substituindo na equação original.
Para
:
logo a igualdade vale.
Para
:
também vale.
Portanto ambas as raízes são soluções válidas da equação.