e) \left|x^{2}-9\right| \leq|x-3|

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a desigualdade
\left|x^{2}-9\right| \leq |x-3|.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A variável é x (número real).
  • Precisamos encontrar todos os valores de x que tornam verdadeira a desigualdade \left|x^{2}-9\right| \leq |x-3|.

Passo 2

Primeira observação útil (ferramenta que eu escolho aqui porque deixa a conta bem direta): a expressão x^{2}-9 é fatorável.
x^{2}-9 = (x-3)(x+3).
Também usamos a propriedade do valor absoluto que diz que, para quaisquer números reais a e b,
|ab| = |a|\,|b|.
Com isso conseguimos simplificar a desigualdade transformando \left|x^{2}-9\right| em algo envolvendo |x-3| e |x+3|.

Passo 3

Aplicando a fatoração e a propriedade do valor absoluto, reescrevemos a desigualdade:
\left|x^{2}-9\right| = |(x-3)(x+3)| = |x-3|\,|x+3|.
Portanto a desigualdade fica
|x-3|\,|x+3| \leq |x-3|.

Passo 4

Passo algébrico: subtraímos o membro da direita para colocar tudo num único lado:
|x-3|\,|x+3| - |x-3| \leq 0.
Fatorando |x-3| em evidência:
|x-3|\bigl(|x+3| - 1\bigr) \leq 0.
Agora temos um produto de dois fatores: |x-3| (que é sempre \geq 0) e |x+3|-1 (que pode ser positivo, zero ou negativo).

Passo 5

Analisando o produto |x-3|\bigl(|x+3|-1\bigr) \leq 0:
  • Como |x-3| \geq 0 para todo x, o produto só pode ser \leq 0 em duas situações:
    1. |x-3| = 0, ou
    2. |x-3| > 0 e então é preciso que |x+3|-1 \leq 0 para que o produto seja \leq 0.
Portanto as soluções vêm de unir as soluções de cada caso.

Passo 6

Resolver o caso 1:
|x-3| = 0 \quad\Rightarrow\quad x-3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Então x=3 é solução (verificável direto na desigualdade original: 0 \le 0).

Passo 7

Resolver o caso 2 (assumindo |x-3| > 0, podemos dividir por esse positivo):
|x+3| - 1 \leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+3| \leq 1.
Agora resolvemos a desigualdade absoluta padrão:
|x+3| \leq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 \leq x+3 \leq 1.
Subtraindo 3 em todas as partes:
-4 \leq x \leq -2.
Então o intervalo [-4,-2] está totalmente dentro das soluções.

Passo 8

União das soluções dos dois casos:
  • Do caso 1 obtivemos x=3.
  • Do caso 2 obtivemos x\in[-4,-2].
Verificação rápida nas fronteiras:
  • Para x=-4: |x^{2}-9| = |16-9|=7 e |x-3|=|-7|=7, então a desigualdade dá igualdade, ok.
  • Para x=-2: |x^{2}-9| = |4-9|=5 e |x-3|=|-5|=5, ok.
  • Para x=3: |x^{2}-9|=0\le |x-3|=0, ok.

Resposta

x\in[-4,-2]\cup\{3\}

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