e)
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a desigualdade
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A variável é
(número real). - Precisamos encontrar todos os valores de
que tornam verdadeira a desigualdade .
Passo 2
Primeira observação útil (ferramenta que eu escolho aqui porque deixa a conta bem direta): a expressão
é fatorável.
Também usamos a propriedade do valor absoluto que diz que, para quaisquer números reais
e
,
Com isso conseguimos simplificar a desigualdade transformando
em algo envolvendo
e
.
Passo 3
Aplicando a fatoração e a propriedade do valor absoluto, reescrevemos a desigualdade:
Portanto a desigualdade fica
Passo 4
Passo algébrico: subtraímos o membro da direita para colocar tudo num único lado:
Fatorando
em evidência:
Agora temos um produto de dois fatores:
(que é sempre
) e
(que pode ser positivo, zero ou negativo).
Passo 5
Analisando o produto
:
- Como
para todo , o produto só pode ser em duas situações:-
, ou -
e então é preciso que para que o produto seja .
-
Portanto as soluções vêm de unir as soluções de cada caso.
Passo 6
Resolver o caso 1:
Então
é solução (verificável direto na desigualdade original:
).
Passo 7
Resolver o caso 2 (assumindo
, podemos dividir por esse positivo):
Agora resolvemos a desigualdade absoluta padrão:
Subtraindo 3 em todas as partes:
Então o intervalo
está totalmente dentro das soluções.
Passo 8
União das soluções dos dois casos:
- Do caso 1 obtivemos
. - Do caso 2 obtivemos
.
Verificação rápida nas fronteiras:
- Para
: e , então a desigualdade dá igualdade, ok. - Para
: e , ok. - Para
: , ok.