Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário, é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada (a curvatura) da função. Em matemática, a análise de máximos e mínimos (pontos críticos) possui diversas aplicações. Uma delas é na área fabril.
Dessa forma, imagine que o custo em reais de fabricação de uma unidade de um certo produto é dado pela função C:[0,24] R, definida por C(x)=2 x^3-66 x^2+432 x+3000, onde x representa a quantidade produzida. Determine o que se pede, para cada situação a seguir:
a) (2 pontos) Para a fabricação de 8 e 20 peças, determine o valor de custo para cada situação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o custo de fabricação de 8 e 20 peças usando a função . Aqui, representa a quantidade produzida. Para resolver isso, vamos precisar substituir os valores de na função e calcular o resultado. Vamos fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o custo para fabricar 8 peças. Isso significa que vamos substituir C(8) = 2(8)^3 - 66(8)^2 + 432(8) + 3000 por 8 na função .
Então temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo individualmente:
  1. O termo constante é

Passo 4

Agora, somamos todos esses valores:
1024 - 4224 + 3456 + 3000 = 1024 - 4224 = -3200 -3200 + 3456 = 256 256 + 3000 = 3256
Então, o custo para fabricar 8 peças é R$ 3.256.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para 20 peças. Substituindo C(20) = 2(20)^3 - 66(20)^2 + 432(20) + 3000 por 20 na função :

Passo 6

Calculando cada termo:
  1. O termo constante é

Passo 7

Somando todos os valores:
16000 - 26400 + 8640 + 3000 = 16000 - 26400 = -10400 -10400 + 8640 = -1760 -1760 + 3000 = 1240
Então, o custo para fabricar 20 peças é R$ 1.240.

Resposta

O custo para fabricar 8 peças é R$ 3.256 e para fabricar 20 peças é R$ 1.240.

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